Pourquoi moduler : antennes, canaux, et trois façons d'inscrire l'information

Une antenne rayonne efficacement lorsque sa longueur est de l'ordre du quart de la longueur d'onde.

1) Calculer la longueur d'une antenne quart d'onde pour un signal de parole à $3 kHz$ , pour une porteuse de $1 MHz$ (petites ondes), de $100 MHz$ (FM), de $900 MHz$ (téléphonie mobile). Commenter.

2) En Europe, les émetteurs de petites ondes occupent la bande de $531$ à $1602 kHz$ , avec des porteuses espacées de $9 kHz$ . Combien de stations peut-on y loger ? Quelle largeur de bande audio cela laisse-t-il à chacune ?

3) Une porteuse $A cos (ω_{p} t + φ_{0})$ a trois caractéristiques. Écrire un signal modulé en amplitude, en fréquence et en phase par un signal $m (t)$ (on introduira des constantes $k_{f}$ et $k_{p}$ ). Quelle grandeur porte l'information dans chaque cas ?

La stratégie. $λ = \frac{c}{f}$ ; puis compter des canaux ; enfin, faire varier tour à tour l'amplitude, la fréquence instantanée et la phase.

1) Les antennes. $\frac{λ}{4} = \frac{c}{4 f}$ : à $3 kHz$ , $λ = 100 km$ , antenne de $25 km$ : irréalisable. À $1 MHz$ : $75 m$ , un pylône. À $100 MHz$ : $75 cm$ , l'antenne télescopique d'un poste. À $900 MHz$ : $8, 3 cm$ , logée dans un téléphone. La montée en fréquence de la porteuse a suivi la miniaturisation : c'est la première raison de moduler.

2) Les canaux. $\frac{1 602 - 531}{9} + 1 = 120$ stations. Chaque émission occupe au plus $9 kHz$ ; comme une modulation d'amplitude occupe le double de la bande du signal (exercice 3), la bande audio est limitée à $4, 5 kHz$ : suffisant pour la parole, médiocre pour la musique. C'est la seconde raison de moduler : partager le spectre en canaux.

3) Trois modulations.

Amplitude : $s (t) = [A + m (t)] cos (ω_{p} t)$ ; l'information est dans l'enveloppe.
Fréquence : la fréquence instantanée vaut $f_{p} + k_{f} m (t)$ , c'est-à-dire $s (t) = A cos (ω_{p} t + 2 π k_{f} \int_{0}^{t} m (t^{'}) d t^{'})$ ; l'amplitude est constante, l'information est dans l'écart de fréquence à la porteuse.
Phase : $s (t) = A cos (ω_{p} t + k_{p} m (t))$ ; l'information est dans le déphasage.

En FM et en PM, l'amplitude constante rend le signal insensible aux parasites qui affectent l'amplitude : c'est pourquoi la FM a supplanté l'AM pour la musique.

Ce que l'exercice installe. Deux raisons de moduler, toutes deux chiffrées : la taille des antennes et le partage du spectre. Trois modulations, selon la caractéristique de la porteuse qui porte l'information. Les ordres de grandeur AM, FM, téléphonie se retrouvent par $λ /4$ .

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