électronique (PSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Problème : l'horloge radiopilotée, ou le principe de la démodulation synchrone

Modulation et démodulation d'amplitude · B. Démodulation synchrone · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Les horloges dites « radiopilotées » se remettent à l'heure en recevant l'émetteur de signaux horaires DCF77, situé près de Francfort et reçu dans toute l'Europe occidentale. Sa porteuse a pour fréquence $f_{p} = 77, 5 kHz$ . Au début de chaque seconde, l'amplitude de la porteuse est réduite à $15 %$ de sa valeur normale $A_{0}$ pendant $0, 1 s$ (bit $0$ ) ou $0, 2 s$ (bit $1$ ), sauf à la cinquante-neuvième seconde ; les soixante bits d'une minute codent l'heure et la date.

1) Le signal. Écrire le signal émis sous la forme $s (t) = A (t) cos (ω_{p} t)$ et montrer que c'est une modulation d'amplitude : quel est le signal modulant ? Quel est le rapport, en décibels, entre l'amplitude réduite et l'amplitude normale ? Calculer la longueur d'onde. Estimer l'encombrement spectral : est-il grand ou petit devant $f_{p}$ ?

2) Démoduler par un produit. Pourquoi un passe-bas seul ne restituerait-il rien ? On multiplie le signal reçu par une porteuse locale $cos (ω_{p} t + φ)$ . Établir l'expression du produit et le principe de la démodulation synchrone.

3) Le filtre. On filtre le produit par un passe-bas $R C$ de constante de temps $τ = 1, 0 ms$ . Vérifier qu'il transmet les créneaux de $0, 1 s$ sans les déformer notablement, et qu'il élimine la composante à $2 f_{p}$ . Écrire la condition générale sur sa fréquence de coupure.

4) Phase et fréquence de la porteuse locale. Que devient la sortie si $φ = 9 0^{\circ}$ ? Si la porteuse locale a une fréquence $f_{p} + δ f$ avec $δ f = 1 Hz$ ? avec $δ f = 0, 01 Hz$ ? Conclure.

5) Récupérer la porteuse. Le signal émis contient une raie de porteuse. Proposer un moyen d'en tirer une porteuse locale de bonne fréquence et de bonne phase. Si l'on veut une bande passante de $1 Hz$ autour de $77, 5 kHz$ , quel facteur de qualité faut-il ? Quel composant l'atteint ? Quelle est la durée de réponse de ce filtre, et pourquoi est-ce un avantage ?

6) Bilan. Comparer le débit d'information de DCF77 à son encombrement spectral. Énoncer le résultat établi.

Corrigé

La stratégie. Écrire le produit, le linéariser, séparer bande de base et terme à $2 f_{p}$ ; puis examiner ce qu'exige la porteuse locale.

1) Une modulation d'amplitude. $s (t) = A (t) cos (ω_{p} t)$ avec $A (t) = A_{0} + m (t)$ , où $m (t)$ vaut $0$ en temps normal et $- 0, 85 A_{0}$ pendant les impulsions : c'est une modulation d'amplitude par un signal modulant en créneaux, l'enveloppe restant positive (taux $0, 85 < 1$ ). Rapport $20 lo g 0, 15 = - 16, 5 dB$ . Longueur d'onde $λ = \frac{3 \times 1 0 ^{8}}{77 , 5 \times 1 0 ^{3}} = 3, 9 km$ : une onde « kilométrique », qui suit la courbure de la Terre et porte à environ $2000 km$ . Les créneaux varient à l'échelle de $0, 1 s$ : leur spectre est concentré sur quelques dizaines de hertz, et l'encombrement du signal modulé ( $2 f_{m a x}$ ) est de l'ordre de $100 Hz$ , mille fois plus petit que $f_{p}$ .

2) Le principe, établi. Le signal reçu n'a de composantes qu'autour de $77, 5 kHz$ ; un passe-bas, linéaire, n'y crée aucune basse fréquence et ne restitue rien (exercice 4). Le multiplieur donne $v (t) = k A (t) cos (ω_{p} t) cos (ω_{p} t + φ) = \frac{k A ( t )}{2} cos φ + \frac{k A ( t )}{2} cos (2 ω_{p} t + φ) .$ Le premier terme est l'enveloppe $A (t)$ , ramenée en bande de base, multipliée par $\frac{k}{2} cos φ$ ; le second est une AM autour de $2 f_{p} = 155 kHz$ . Un passe-bas qui garde la bande de base et élimine $2 f_{p}$ restitue $\frac{k}{2} A (t) cos φ$ : c'est la démodulation synchrone, dont les trois ingrédients sont le produit, le passe-bas et la porteuse locale cohérente.

3) Le filtre. $f_{c} = \frac{1}{2 π τ} = 159 Hz$ . À $155 kHz$ : gain $\frac{1}{1 + ( 2 π \times 155 \times 1 0 ^{3} \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}} = 1, 0 \times 1 0^{- 3}$ : le terme à $2 f_{p}$ est réduit d'un facteur mille. Les fronts des créneaux sont arrondis sur $3 τ = 3 ms$ , négligeable devant $100 ms$ : la distinction entre $0, 1$ et $0, 2 s$ est intacte. Condition générale : $f_{m a x} ≪ f_{c} ≪ 2 f_{p}$ , ici $\sim 10 Hz ≪ 159 Hz ≪ 155 kHz$ .

4) Phase et fréquence locales. $φ = 9 0^{\circ}$ : $cos φ = 0$ , la sortie est nulle. Avec une fréquence locale $f_{p} + δ f$ , le calcul donne $\frac{k A ( t )}{2} cos (2 π δ f t - φ)$ : l'enveloppe est multipliée par une sinusoïde lente. Pour $δ f = 1 Hz$ , elle s'annule deux fois par seconde, au rythme même des bits : le message est illisible. Pour $δ f = 0, 01 Hz$ , la sortie passe par zéro toutes les $50 s$ : près d'une minute sur deux est perdue. Un écart relatif de $1 0^{- 7}$ suffit donc à perdre le message : il faut une porteuse locale exactement à la fréquence reçue, et en phase ; aucun oscillateur indépendant n'y parvient.

5) Récupérer la porteuse. Le signal émis est une AM avec porteuse : son spectre contient une raie à $f_{p}$ , qui a exactement la fréquence et la phase voulues. On l'isole par un filtre passe-bande très étroit centré sur $77, 5 kHz$ ; son amplitude est ensuite fixée par un amplificateur qui sature (au-delà de cet exercice). Pour une bande de $1 Hz$ : $Q = \frac{f _{p}}{Δ f} = 77500$ , hors de portée d'un circuit $R L C$ ( $Q \sim 100$ ) mais à la portée d'un résonateur à quartz ( $Q$ de $1 0^{4}$ à $1 0^{6}$ ). La durée de réponse d'un tel filtre vaut $\frac{2 Q}{ω _{p}} = \frac{1}{π Δ f} = 0, 32 s$ : plus longue que les creux de $0, 1$ ou $0, 2 s$ , qu'il « ne voit presque pas » : la porteuse extraite garde une amplitude à peu près constante pendant les impulsions. C'est la sélectivité extrême du quartz qui fournit la porteuse cohérente.

6) Bilan. DCF77 transmet $1$ bit par seconde ; son encombrement est de l'ordre de $100 Hz$ ; ce débit minuscule est le prix de la portée et de la simplicité des récepteurs : une antenne de ferrite de quelques centimètres et un filtre à quartz suffisent.

Résultat établi : le principe de la démodulation synchrone — multiplier le signal modulé $[A + m (t)] cos ω_{p} t$ par une porteuse locale $cos (ω_{p} t + φ)$ donne $\frac{k}{2} [A + m (t)] cos φ$ en bande de base plus un terme autour de $2 f_{p}$ ; un passe-bas de coupure $f_{m a x} ≪ f_{c} ≪ 2 f_{p}$ restitue la modulante, à condition que la porteuse locale ait exactement la fréquence et la phase de la porteuse reçue ( $cos φ$ voisin de $1$ ). C'est l'opération non linéaire qu'exige toute démodulation.

Ce que le problème installe. La démodulation synchrone en trois temps : produit (transposition en bande de base et à $2 f_{p}$ ), filtre (dimensionné entre $f_{m a x}$ et $2 f_{p}$ ), porteuse cohérente (le facteur $cos φ$ et la sensibilité extrême à un écart de fréquence). Sur un dispositif réel, on chiffre chaque exigence : $3 ms$ de fronts, $1 0^{- 3}$ de résidu, un quartz de $Q \approx 8 \times 1 0^{4}$ .

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