Spectre d'une émission en petites ondes : canaux et bilan de puissance

La stratégie. Linéariser le produit de cosinus ; les raies se lisent sur la somme obtenue ; la puissance moyenne d'une somme de sinusoïdes de fréquences distinctes est la somme des puissances.

1) Trois raies. $s=A\cos {\omega }_{p}t+a\cos \omega t\cos {\omega }_{p}t=A\cos {\omega }_{p}t+\frac{a}{2}\cos \left[({\omega }_p-\omega )t\right]+\frac{a}{2}\cos \left[({\omega }_p+\omega )t\right]$. Trois raies : la porteuse à $1000\mathrm{kHz}$ (amplitude $A$), deux bandes latérales à $997$ et $1003\mathrm{kHz}$ (amplitude $\frac{a}{2}=\frac{\mu A}{2}$). La porteuse est la même quelle que soit la modulante : elle ne porte aucune information ; l'information est dans les bandes latérales (leur position dit $f$, leur amplitude dit $a$).

(Tracé pour $\mu =0,5$ ; en pointillés, les porteuses des canaux voisins.)

2) La parole. Chaque composante de fréquence $f$ du spectre de la parole donne deux raies en $f_p\pm f$ : on obtient deux bandes latérales continues, de $1000,3$ à $1004,5\mathrm{kHz}$ (image du spectre de la parole) et de $995,5$ à $999,7\mathrm{kHz}$ (image retournée). L'encombrement vaut $B=2f_{\max }=9,0\mathrm{kHz}$, de $995,5$ à $1004,5\mathrm{kHz}$ : exactement l'espacement des canaux ; les voisins, qui occupent $986,5$–$995,5$ et $1004,5$–$1013,5\mathrm{kHz}$, ne sont pas touchés.

3) La musique non filtrée. $B=2\times 15=30\mathrm{kHz}$, de $985$ à $1015\mathrm{kHz}$ : le signal empiète sur les canaux à $991$ et $1009\mathrm{kHz}$ (entièrement) et sur ceux à $982$ et $1018\mathrm{kHz}$ (partiellement) : deux stations brouillées de chaque côté. D'où l'obligation de limiter la bande audio avant le modulateur.

4) Le bilan de puissance. Les trois raies ont des fréquences distinctes : leurs puissances moyennes s'ajoutent, $$P=\frac{A^2}{2}+2\times \frac{(a/2{)}^2}{2}=\frac{A^2}{2}\left(1+\frac{{\mu }^2}{2}\right),\frac{P_{\text{lat}}}{P}=\frac{{\mu }^2}{2+{\mu }^2}.$$ Pour $\mu =0,3$ : $4,3\%$ ; pour $\mu =1$, le mieux possible sans surmodulation : $33\%$. Au moins deux tiers, et en pratique plus de $95\%$ de la puissance émise part dans la porteuse, qui ne transporte rien. La modulation à porteuse supprimée ($A=0$, $s=m(t)\cos {\omega }_{p}t$) économiserait cette puissance, mais impose à chaque récepteur de fabriquer lui-même une porteuse de même fréquence et de même phase (exercice 5 et problème) : plus économique à l'émission, plus coûteuse à la réception. Pour une radiodiffusion avec des millions de récepteurs, on a longtemps préféré garder la porteuse.

Ce que l'exercice installe. Le spectre AM se lit sur la linéarisation du produit : porteuse et bandes latérales en $f_p\pm f$ ; l'encombrement vaut $2f_{\max }$ et fixe le pas des canaux. Le bilan de puissance, ${\mu }^2/(2+{\mu }^2)$ au plus $\frac{1}{3}$, explique l'intérêt et le coût de la porteuse supprimée.