La puissance reçue selon la distance

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 10 — La Terre dans l'Univers

Énoncé

La puissance reçue par mètre carré varie comme l'inverse du carré de la distance à l'étoile. À $1$ UA du Soleil, elle vaut $1361$ W $\cdot$ m $^{- 2}$ . 1. Calculer la puissance reçue par mètre carré sur Vénus ( $0, 72$ UA), Mars ( $1, 52$ UA) et Jupiter ( $5, 2$ UA). 2. À quelle distance recevrait-on la moitié de ce que reçoit la Terre ? 3. La puissance totale rayonnée par le Soleil vaut $3, 83 \times 1 0^{26}$ W. Vérifier la constante solaire, sachant que cette puissance se répartit sur une sphère de rayon $1$ UA. 4. Une étoile rayonne deux mille fois moins que le Soleil. À quelle distance faudrait-il se placer pour recevoir autant qu'à $1$ UA du Soleil ? 5. Commenter au regard de la figure des zones d'habitabilité.

Corrigé

1. Vénus : $1 361/0, 7 2^{2} = 1 361/0, 518 \approx 2630$ W $\cdot$ m $^{- 2}$ . Mars : $1 361/1, 5 2^{2} = 1 361/2, 31 \approx 590$ W $\cdot$ m $^{- 2}$ . Jupiter : $1 361/5, 2^{2} = 1 361/27, 0 \approx 50$ W $\cdot$ m $^{- 2}$ .

2. Il faut $1/ d^{2} = 1/2$ , donc $d^{2} = 2$ et $d = 2 \approx 1, 41$ UA.

3. La sphère de rayon $1$ UA $= 1, 496 \times 1 0^{11}$ m a pour aire $4 π R^{2} = 4 π \times (1, 496 \times 1 0^{11})^{2} \approx 2, 81 \times 1 0^{23} m^{2},$ d'où $\frac{3 , 83 \times 1 0 ^{26}}{2 , 81 \times 1 0 ^{23}} \approx 1, 36 \times 1 0^{3} W \cdot m^{- 2} .$ On retrouve la constante solaire.

4. La puissance reçue vaut $P / (4 π d^{2})$ . Pour compenser une puissance $2000$ fois plus faible, il faut $d^{2}$ divisé par $2000$ , donc $d = \frac{1}{2 000} \approx \frac{1}{44 , 7} \approx 0, 022 UA.$

5. C'est très exactement ce que montre la seconde barre de la figure : la zone d'habitabilité de TRAPPIST- $1$ est située autour de quelques centièmes d'unité astronomique, soit une quarantaine de fois plus près que celle du Soleil. Une planète « à la bonne température » peut donc se trouver à une distance qui, autour de notre étoile, la vaporiserait. La distance ne veut rien dire sans la luminosité de l'étoile.

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