Calculer avec la formule de Mersenne

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 11 — Son et musique

Énoncé

On donne la relation, non exigible : $f_{1} = \frac{1}{2 L} \frac{T}{μ}$ , avec $L$ en mètres, $T$ en newtons et $μ$ en kg $\cdot$ m $^{- 1}$ . Une corde a $L = 0, 65$ m, $T = 70$ N et $μ = 6, 3 \times 1 0^{- 3}$ kg $\cdot$ m $^{- 1}$ . 1. Calculer $f_{1}$ . 2. De quelle note s'agit-il, sachant que le mi grave de la guitare vaut $82, 4$ Hz ? 3. Par quel facteur faut-il multiplier la tension pour monter d'une octave ? 4. Est-ce réalisable en pratique ? 5. Retrouver, à partir de la formule, les trois règles qualitatives du cours.

Corrigé

1. $\frac{T}{μ} = \frac{70}{6 , 3 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 1, 11 \times 1 0^{4}$ , dont la racine vaut $105$ . Puis $f_{1} = \frac{105}{2 \times 0 , 65} = \frac{105}{1 , 30} \approx 81 Hz.$

2. C'est, à moins de $2 %$ près, le mi grave de la guitare ( $82, 4$ Hz). L'écart est cohérent avec la précision des données.

3. Monter d'une octave, c'est doubler $f_{1}$ . Comme $f_{1}$ est proportionnelle à $T$ , il faut multiplier $T$ par $2$ , donc $T$ par $4$ .

4. Non. Passer de $70$ N à $280$ N sur une corde de guitare la casserait, et l'ensemble des six cordes exercerait sur le manche une traction que l'instrument ne supporterait pas. C'est bien pourquoi on change de corde, et non de tension, pour obtenir des notes très différentes : la lutherie est gouvernée par cette contrainte.

5. Dans $f_{1} = \frac{1}{2 L} \frac{T}{μ}$ : $L$ est au dénominateur, donc $f_{1}$ augmente quand $L$ diminue (corde courte, son aigu) ; $T$ est au numérateur, donc $f_{1}$ augmente avec la tension ; $μ$ est au dénominateur sous la racine, donc $f_{1}$ diminue quand la corde s'alourdit. Les trois règles du cours se lisent directement dans la formule.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.