Son et musique
Cours complet · enseignement scientifique (première), chapitre 11 · première, enseignement scientifique
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11.1 Introduction : qu'est-ce qu'un son, et qu'est-ce qui fait qu'on
l'appelle musique ?
Fermez les yeux dans une rue. Vous entendez une voiture, une porte, une voix, un oiseau, peut-être une guitare. Tout cela vous arrive par le même canal : de l'air qui vibre. Rien d'autre. Et pourtant vous distinguez sans effort une note d'un claquement, une voix d'un moteur, un violon d'une trompette qui joueraient pourtant la même note.
Le programme appelle cela « la banalité du son dans l'environnement » qui « cache une réalité physique précise ». Ce chapitre va chercher cette réalité. Il montre qu'un son se décrit par trois grandeurs seulement — sa fréquence, son spectre, son intensité — et que ces trois grandeurs suffisent à rendre compte de tout ce que l'oreille perçoit : la hauteur, le timbre, le volume.
Il montre ensuite comment on fabrique volontairement des sons : une corde tendue, une colonne d'air dans un tuyau. Et comment, à partir de ces sons, les sociétés humaines ont construit un art. Là, la physique s'arrête et une autre question commence — pourquoi certains rapports de fréquences nous paraissent-ils consonants ? — dont la réponse tient autant à la culture qu'aux nombres.
Ce n'est pas un cours de solfège, et ce n'est pas non plus un cours de physique des ondes. On n'y trouvera ni portée, ni équation d'onde. Ce qu'on y trouvera, c'est le petit nombre de notions physiques dont on a besoin pour comprendre ce qu'on entend : la sinusoïde, le spectre, l'échelle des décibels, la corde vibrante et l'octave. Le programme est ici très resserré, et c'est une chance : tout ce qui y figure mérite d'être su.
11.2 Le son, une onde dans la matière
11.2.1 Ce qui vibre
Un haut-parleur pousse et tire l'air devant lui. Il crée ainsi, tout près de sa membrane, une alternance de zones où l'air est légèrement comprimé et de zones où il est légèrement raréfié. Chaque tranche d'air ainsi comprimée pousse à son tour la suivante : la perturbation se propage.
Une onde sonore est la propagation d'une perturbation de la pression dans un milieu matériel. Les molécules du milieu oscillent autour de leur position d'équilibre ; elles ne sont pas transportées. Ce qui se propage, c'est la perturbation, et avec elle de l'énergie.
resserrent là où la pression est maximale et s'écartent là où elle est minimale. En bas, la pression correspondante. La distance entre deux compressions successives est la longueur d'onde.</div>
Le son se propage à environ ms dans l'air à C, à ms dans l'eau, et à près de ms dans l'acier. Plus le milieu est rigide, plus le son y va vite.
Un repère utile : entre l'éclair et le tonnerre, comptez les secondes et divisez par trois pour obtenir la distance en kilomètres. Trois secondes, un kilomètre. La lumière, elle, met trois microsecondes : autant dire rien.
Une onde sonore a besoin de matière. Sous une cloche à vide, une sonnerie électrique continue de vibrer — on la voit — mais on ne l'entend plus. C'est une différence fondamentale avec la lumière, qui traverse le vide sans difficulté : les étoiles nous envoient leur lumière depuis des milliards d'années-lumière, elles ne nous enverront jamais le moindre son. Les explosions bruyantes des films de science-fiction dans l'espace sont une convention, pas une observation.
11.3 Le son pur : une sinusoïde
Un son pur est associé à un signal dépendant du temps de façon sinusoïdale.
C'est la brique élémentaire de toute l'acoustique. Un son pur ne contient qu'une seule fréquence ; il est produit par un diapason, un générateur électronique, une flûte à bec soufflée doucement. À l'oreille, il paraît mince, nu, presque artificiel : les sons de la nature n'en sont pratiquement jamais.
Pour un signal sinusoïdal :
- la période est la durée d'un motif complet, en secondes ;
- la fréquence est le nombre de motifs par seconde, en hertz (Hz) :
- l'amplitude est l'écart maximal du signal par rapport à sa valeur moyenne.
La fréquence détermine la hauteur du son (grave ou aigu) ; l'amplitude, son intensité.
une sinusoïde parfaite ; le second est périodique — son motif se répète à l'identique — mais il n'a rien d'une sinusoïde. Toute la richesse des sons de la nature et des instruments est dans cet écart.</div>
L'oreille humaine perçoit les sons dont la fréquence est comprise entre environ Hz et Hz. En dessous, on parle d'infrasons ; au-dessus, d'ultrasons. Cette limite supérieure baisse avec l'âge : elle est déjà souvent descendue vers Hz à vingt ans, et vers Hz à cinquante. La perte est irréversible, et elle s'accélère avec l'exposition au bruit — ce sera le sujet du chapitre « Entendre et protéger son audition ».
Le la du diapason vaut Hz. Sa longueur d'onde dans l'air vaut donc — à peu près la largeur d'une porte. C'est pourquoi les sons contournent les obstacles de taille comparable, et pourquoi on entend une conversation depuis la pièce voisine.
11.4 Le son composé : fondamentale et harmoniques
11.4.1 Le résultat central
Un signal périodique de fréquence se décompose en une somme de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples de . Le son associé à ce signal est un son composé. est appelé fréquence fondamentale, les autres fréquences sont appelées harmoniques.
Autrement dit : tout son périodique, si compliqué soit-il, est une superposition de sons purs — et pas n'importe lesquels, uniquement ceux dont les fréquences sont , , , … C'est un résultat mathématique, dû à Joseph Fourier, et c'est lui qui fonde toute l'analyse des sons.
sinusoïdes de fréquences , et ; la somme est un signal de même période que la première, mais de forme toute différente. C'est le mécanisme inverse de l'analyse spectrale : celle-ci part du son et retrouve les composantes.</div>
11.4.2 Le spectre, et le timbre
Le spectre d'un son est la représentation graphique de l'amplitude de chacune de ses composantes sinusoïdales, en fonction de leur fréquence. Pour un son périodique, il se présente comme une série de raies situées aux fréquences , , …
Le spectre est à un son ce que la liste des ingrédients est à une recette : il ne dit pas tout, mais il dit ce qui est dedans.
première raie, la fondamentale, est à la même fréquence : c'est elle qui fixe la hauteur. La distribution des raies suivantes est différente : c'est elle qui fait le timbre. L'instrument B a des harmoniques impaires marquées — un profil caractéristique des instruments à anche.</div>
Méthode : Utiliser un logiciel permettant de visualiser le spectre d'un
son</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text"> De nombreux logiciels gratuits (Audacity, Latis-Pro, une application de smartphone) font l'analyse spectrale en temps réel. Voici comment s'en servir sans se tromper.
- Enregistrer un son tenu et stable : une note maintenue plusieurs secondes, pas une attaque brève. Un son qui varie donne un spectre qui bouge et n'a pas de sens.
- Regarder d'abord le signal temporel. Est-il périodique ? Si oui, mesurer la période sur plusieurs motifs (par exemple dix motifs, puis diviser par dix : l'erreur de lecture est ainsi divisée par dix) et en déduire .
- Afficher le spectre et repérer la raie de plus basse fréquence : c'est la fondamentale. Vérifier qu'elle correspond bien au mesuré — c'est le contrôle qui valide toute la manipulation.
- Vérifier que les autres raies sont des multiples entiers de la fondamentale. Si elles ne le sont pas, le son n'est pas périodique : c'est un bruit, ou un instrument à percussion.
- Relever les amplitudes relatives en prenant la fondamentale pour référence. C'est ce tableau, et non les valeurs absolues, qui caractérise le timbre.
- Se méfier des artefacts : le bruit de fond ajoute des raies parasites, et une fenêtre d'analyse trop courte élargit les raies. Une raie isolée à Hz est presque toujours le secteur électrique, pas l'instrument.
Représentations graphiques : voir le chapitre « Analyse de l'information chiffrée » de la partie mathématique.
Qu'est-ce qui distingue physiquement un son musical d'un bruit ? La périodicité. Un son musical a un signal qui se répète, donc un spectre fait de raies bien séparées, aux fréquences , , … Un bruit — le souffle du vent, un choc, une consonne comme « ch » — n'est pas périodique : son spectre est continu, toutes les fréquences y sont présentes, et il n'a pas de hauteur définie.
Entre les deux, il y a tout un continuum, et les compositeurs l'exploitent : la cymbale, le tambour, l'archet qui gratte. La frontière n'est donc pas une frontière esthétique — c'est une frontière physique dont la musique fait ce qu'elle veut.
11.5 Intensité et niveau d'intensité sonore
11.5.1 Deux grandeurs à ne pas confondre
L'intensité sonore est la puissance transportée par l'onde sonore par unité de surface. Elle s'exprime en watts par mètre carré (Wm) : C'est donc une grandeur quotient, comme une vitesse ou une masse volumique.
La puissance par unité de surface transportée par une onde sonore est quantifiée par son intensité. Son niveau d'intensité sonore est exprimé en décibels selon une échelle logarithmique.
Le niveau d'intensité sonore se calcule à partir de par où est l'intensité de référence, choisie comme le seuil d'audibilité d'une oreille jeune à Hz. s'exprime en décibels (dB).
Pour deux raisons, l'une pratique et l'autre physiologique.
Pratique. Entre le seuil d'audibilité et le seuil de douleur, l'intensité est multipliée par mille milliards : de à Wm. Un axe gradué en watts par mètre carré serait inutilisable — le seuil d'audibilité et une conversation y seraient confondus avec le zéro. L'échelle logarithmique ramène cette étendue à un intervalle de à .
Physiologique. Notre perception ne suit pas l'intensité, elle suit à peu près son logarithme. Multiplier l'intensité par dix ne donne pas l'impression d'un son dix fois plus fort : c'est le passage d'une bibliothèque à une conversation. L'échelle des décibels est donc plus proche de ce que nous ressentons que ne l'est l'intensité elle-même. C'est un exemple, parmi beaucoup d'autres, d'une non-linéarité de la sensation par rapport à la stimulation.
dB correspond à une intensité multipliée par . Les deux colonnes disent la même chose ; celle de droite est physiquement plus fondamentale, celle de gauche est utilisable.</div>
Méthode : Relier l'intensité sonore au niveau d'intensité sonore
Sens direct : de vers .
- Calculer le rapport et l'écrire comme une puissance de dix.
- Le niveau vaut fois l'exposant. Par exemple Wm donne , donc dB.
- Si le rapport n'est pas une puissance de dix ronde, on l'encadre : est compris entre et , donc est entre et dB — la calculatrice donne dB.
Sens inverse : de vers .
- Diviser par : on obtient l'exposant de .
- Multiplier par : . Par exemple dB donne Wm.
Les trois réflexes indispensables.
- dB intensité .
- dB intensité (deux sources identiques).
- Les décibels ne s'additionnent pas. Deux sources de dB ne font pas dB, mais dB. Pour additionner deux sources, il faut additionner les intensités, puis revenir aux décibels.
Grandeurs quotients, puissances de dix, calcul algébrique : voir l'annexe « Automatismes ».
Une machine seule produit Wm, soit dB.
Deux machines identiques : l'intensité double, Wm. Le rapport vaut : entre et , donc est entre et dB. Précisément, dB : dB, et non .
Dix machines : l'intensité est multipliée par , donc dB. Il faut dix machines pour gagner dB, ce que l'oreille perçoit à peu près comme « deux fois plus fort ».
Conséquence pratique : dans un atelier, arrêter une machine sur deux ne fait gagner que dB. C'est pourquoi la réduction du bruit passe par le traitement de la source la plus forte, et non par la diminution du nombre de sources.
Loin de la source et sans obstacle, l'énergie sonore se répartit sur une sphère de plus en plus grande : l'intensité varie comme l'inverse du carré de la distance. Doubler la distance divise donc par , ce qui fait perdre dB.
C'est la première des protections contre le bruit, et la plus simple : s'éloigner. Passer de deux mètres à huit mètres d'une enceinte fait gagner dB — bien plus que n'importe quel bouchon d'oreille. C'est aussi pourquoi les niveaux annoncés n'ont de sens qu'accompagnés d'une distance.
11.6 Les instruments : cordes et tuyaux
11.6.1 La corde vibrante
La corde tendue d'un instrument à cordes émet en vibrant un son composé dont la fréquence fondamentale ne dépend que de ses caractéristiques : longueur, tension, masse par unité de longueur.
Trois paramètres, et trois seulement. Ni la matière en elle-même, ni la couleur, ni la façon de pincer : ceux-là influent sur le timbre, pas sur la hauteur.
Chaque mode a un nombre entier de fuseaux ; les points marqués en orange sont des nœuds, immobiles. Les fréquences correspondantes sont , , … : la corde produit donc naturellement une fondamentale et ses harmoniques.</div>
Méthode : Relier qualitativement la fréquence fondamentale aux
caractéristiques d'une corde vibrante</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text"> Trois règles, à savoir énoncer et à savoir reconnaître sur un instrument.
- Longueur. Plus la corde est courte, plus le son est aigu. C'est ce que fait le guitariste en pressant une corde contre une frette : il raccourcit la partie qui vibre. C'est aussi pourquoi un piano à queue est long — pour loger de grandes cordes graves — et pourquoi le violoncelle sonne plus grave que le violon.
- Tension. Plus la corde est tendue, plus le son est aigu. C'est ce que fait l'accordeur en tournant une cheville. Une corde qui se détend en jouant fait descendre l'instrument, d'où la nécessité de réaccorder.
- Masse par unité de longueur. Plus la corde est lourde pour une même longueur, plus le son est grave. C'est pourquoi les cordes graves d'une guitare sont plus grosses, souvent filées de métal : on ne peut ni les allonger (l'instrument a une taille fixe) ni les détendre indéfiniment (elles ne sonneraient plus).
Le raisonnement type : on fait varier un seul paramètre à la fois et on énonce le sens de variation. « La corde de mi grave est plus grosse que celle de mi aigu, à longueur et tension comparables : elle est donc plus lourde par unité de longueur, donc plus grave. » Grandeurs quotients — la masse par unité de longueur en est une : voir l'annexe « Automatismes ».
Le programme n'exige qu'une relation qualitative. Pour la curiosité, voici la relation quantitative, qui date de Mersenne () : où est la longueur vibrante (m), la tension (N) et la masse linéique (kgm). On y lit les trois règles d'un coup : au dénominateur (plus court, plus aigu), au numérateur sous la racine (plus tendu, plus aigu), au dénominateur sous la racine (plus lourd, plus grave). On y lit aussi une nuance : la dépendance en et passe par une racine carrée. Il faut donc quadrupler la tension pour doubler la fréquence — ce que le luthier sait, et ce qui limite ce que l'on peut faire avec une cheville.
11.6.2 Les tuyaux sonores
Dans les instruments à vent, un phénomène analogue se produit par vibration de l'air dans un tuyau.
Ce n'est plus une corde qui vibre, c'est une colonne d'air ; mais le mécanisme est le même. Le tuyau ne laisse s'installer que certaines vibrations, celles qui « tiennent » entre ses extrémités, et il en résulte une fondamentale accompagnée de ses harmoniques.
l'amplitude de la variation de pression : elle est nulle aux extrémités ouvertes et maximale à l'extrémité fermée. Le tuyau fermé fait tenir seulement un quart d'onde sur sa longueur, contre une demi-onde pour le tuyau ouvert : sa fondamentale est donc deux fois plus basse.</div>
Prenons deux tuyaux de m et ms.
Tuyau ouvert (flûte) : Hz.
Tuyau fermé (clarinette, fermée du côté de l'anche) : Hz.
La clarinette sonne bien une octave plus bas, à taille égale. Et son spectre ne contient que les harmoniques impaires, ce qui lui donne ce timbre creux et « boisé » si reconnaissable — on le voit sur le spectre de l'instrument B de la figure des timbres.
11.7 Intervalles, octave et gammes
11.7.1 Un intervalle est un rapport, pas une différence
En musique, un intervalle entre deux sons est défini par le rapport de leurs fréquences fondamentales.
C'est un rapport, et non une différence. Le couple Hz Hz et le couple Hz Hz forment le même intervalle, bien que la différence soit de Hz dans un cas et de Hz dans l'autre. C'est ainsi que l'oreille fonctionne : elle compare des rapports.
Deux sons dont les fréquences sont dans le rapport correspondent à une même note, à deux hauteurs différentes. L'intervalle qui les sépare s'appelle une octave.
C'est le fait le plus étonnant de toute l'acoustique musicale, et il est universel : dans toutes les cultures musicales connues, deux sons dans le rapport sont perçus comme « la même note ». Un homme et une femme qui chantent ensemble à l'octave ont l'impression de chanter à l'unisson.
note aiguë se retrouvent dans le spectre de la note grave : c'est cette parenté qui explique que l'oreille les entende comme « la même note ».</div>
Méthode : Identifier deux notes à l'octave à l'aide de leur spectre
- Relever la fondamentale de chaque spectre : c'est la raie de plus basse fréquence, pas nécessairement la plus haute en amplitude.
- Calculer le rapport . S'il vaut , les deux notes sont à l'octave. S'il vaut , elles sont à deux octaves ; , à trois octaves. Toujours un rapport, jamais une différence.
- Contrôler par la superposition des raies. Les raies de la note aiguë doivent coïncider avec une raie sur deux de la note grave. C'est la vérification qui distingue une octave d'un intervalle voisin.
- Se méfier de deux pièges. Un rapport de n'est pas une octave : c'est une octave fausse, et l'oreille l'entend immédiatement. Et un spectre dont la fondamentale est absente — cela arrive avec un petit haut-parleur — se lit en repérant l'écart constant entre les raies, qui vaut la fondamentale même si sa raie manque.
Puissances de , grandeurs quotients : voir l'annexe « Automatismes ».
Toutes les notes portant le même nom sont dans des rapports de puissances de . En partant du la le plus grave d'un piano, à Hz : Huit la, sept octaves : c'est à peu près l'étendue d'un piano. Et le domaine audible, de Hz à Hz, couvre un rapport de , soit environ dix octaves, puisque .
11.7.2 Les gammes
Une gamme est une suite finie de notes réparties sur une octave.
Une fois admis que l'octave est un intervalle privilégié, il reste à décider comment la découper. C'est là qu'intervient la culture : le nombre de notes et leur emplacement varient d'une tradition musicale à l'autre.
La gamme diatonique occidentale compte sept notes (do, ré, mi, fa, sol, la, si) avant de retomber sur la première, une octave plus haut ; l'échelle chromatique en compte douze. Mais ce découpage n'a rien d'universel.
Les gammes pentatoniques, à cinq notes, se rencontrent sur tous les continents. Les musiques arabes et turques utilisent des intervalles plus petits que le demi-ton occidental, ce que les alphabets de notation européens ne savent pas écrire. La musique classique de l'Inde du Nord théorise vingt-deux subdivisions de l'octave. Le gamelan indonésien emploie des échelles où l'octave elle-même est parfois légèrement étirée.
Ce qui est physique : l'octave, c'est-à-dire le rapport . Ce qui est culturel : tout le reste. Une gamme n'est pas une découverte, c'est une convention — raffinée, éprouvée, transmise, mais une convention.
11.8 Le son comme outil : voix, animaux, environnement
La physique du son ne sert pas qu'à la musique. Les quelques notions de ce chapitre — fréquence fondamentale, spectre, intensité — sont exactement celles dont on a besoin pour étudier une voix, un écosystème ou une machine. Voici quatre ouvertures, qui font aussi d'excellents sujets de projet expérimental et numérique.
11.8.1 La voix humaine
Les cordes vocales, deux replis musculaires du larynx, jouent le rôle d'une corde tendue : leur vibration fixe la fréquence fondamentale, donc la hauteur de la voix. On la fait varier en modifiant leur tension et leur longueur — exactement les paramètres du cours. En moyenne, la fondamentale se situe vers Hz pour une voix d'homme adulte, vers Hz pour une voix de femme, vers Hz chez l'enfant. La mue est la conséquence directe de l'allongement du larynx : une corde plus longue et plus lourde sonne plus grave.
Mais la voix ne se réduit pas à cette fondamentale. Le pharynx, la bouche, les fosses nasales forment une cavité dont la géométrie renforce certaines bandes de fréquences et en atténue d'autres. Ces zones renforcées, appelées formants, sont ce qui distingue un « a » d'un « i » : les deux voyelles peuvent être chantées sur la même note, avec la même fondamentale, et pourtant elles ne se confondent jamais. Prononcer une voyelle, c'est modifier un filtre.
11.8.2 Écouter la biodiversité
Depuis une vingtaine d'années s'est développée une discipline nouvelle, l'éco-acoustique, qui étudie les milieux naturels par les sons qu'ils émettent. On installe des enregistreurs autonomes, on récolte des milliers d'heures, et on analyse les spectres.
L'idée est simple et puissante : chaque espèce émet dans une bande de fréquences qui lui est propre, avec un motif temporel caractéristique. Un spectrogramme permet donc d'identifier les espèces présentes sans les voir ni les capturer, et de suivre l'évolution d'un milieu dans le temps. Un paysage sonore qui s'appauvrit signale un écosystème qui se dégrade — parfois bien avant qu'on ne puisse le constater autrement.
Les chauves-souris, qui chassent par écholocalisation entre et kHz, sont ainsi inventoriées par des détecteurs à ultrasons ; les oiseaux, par reconnaissance automatique de leurs chants ; les insectes, par leurs stridulations. Des programmes de sciences participatives permettent à chacun d'y contribuer avec un simple téléphone.
11.8.3 Les sons chez les animaux
Le domaine audible humain, Hz à Hz, n'a rien d'universel. Le chien entend jusqu'à kHz environ, le chat au-delà de kHz, la chauve-souris au-delà de kHz. À l'autre extrémité, les éléphants et les baleines émettent et perçoivent des infrasons, sous Hz — et ceux-ci, de grande longueur d'onde, franchissent les obstacles et se propagent sur des dizaines de kilomètres dans l'air, sur des centaines dans l'eau.
Ces différences ne sont pas des curiosités : elles ont des conséquences. Le bruit des navires occupe la même bande de fréquences que les vocalisations des grands cétacés, et masque leurs communications sur de vastes zones. On parle de pollution sonore des océans, et c'est un objet d'étude et de réglementation.
11.8.4 Écouter pour diagnostiquer
Enfin, le son est un instrument d'investigation de la matière. L'échographie médicale envoie des ultrasons et mesure l'écho renvoyé par les interfaces internes du corps ; le contrôle non destructif des pièces industrielles procède de la même manière pour détecter une fissure ; le sonar cartographie les fonds marins ; et l'analyse spectrale du bruit d'une machine tournante permet de repérer un roulement usé avant qu'il ne casse. Dans tous ces cas, la démarche est la même : émettre un signal connu, analyser ce qui revient, et en déduire ce qu'on ne peut pas voir.
Voir le chapitre « Projet expérimental et numérique » : la voix, les chants d'oiseaux et la comparaison de spectres d'instruments figurent parmi les sujets suggérés par le programme.
11.9 Histoire des sciences
11.9.1 La querelle des cordes vibrantes
Le problème paraît anodin : une corde tendue, écartée puis lâchée, quelle forme prend-elle au cours du temps ? Il occupe pourtant, au milieu du XVIIIe siècle, les trois plus grands mathématiciens d'Europe, et la dispute dure trente ans.
— d'Alembert établit l'équation qui gouverne le mouvement de la corde et en donne une solution générale, sous forme de deux ondes qui se propagent en sens contraires. Mais il restreint les formes initiales admissibles à celles qu'il juge « régulières ».
— Euler objecte : rien n'empêche de pincer une corde en lui donnant une forme anguleuse, comme le fait le clavecin. Il faut donc admettre des fonctions bien plus générales que celles de d'Alembert. La discussion porte, sans que ses acteurs le formulent ainsi, sur la définition même du mot fonction — question qui ne sera tranchée qu'au XIXe siècle.
— Daniel Bernoulli propose une troisième voie, et c'est celle qui nous intéresse : toute vibration de la corde est une superposition des modes propres, c'est-à-dire une somme de sinusoïdes de fréquences , , … Son argument est physique et musical : on entend ces harmoniques dans le son d'une corde. Ses deux collègues répondent qu'une somme de sinusoïdes ne saurait représenter une forme quelconque, en particulier anguleuse.
Bernoulli avait raison, mais il ne pouvait pas le démontrer.
11.9.2 Fourier tranche, et fonde une méthode
C'est Joseph Fourier qui donne la réponse, en étudiant un tout autre problème : la propagation de la chaleur. Dans un mémoire présenté en , puis dans sa Théorie analytique de la chaleur publiée en , il affirme que toute fonction périodique — y compris anguleuse, y compris discontinue — se décompose en une somme de sinusoïdes de fréquences multiples.
L'affirmation heurte les mathématiciens de son temps, Lagrange en tête, parce qu'elle est énoncée sans les conditions de validité que l'on exigerait aujourd'hui. Il faudra plusieurs décennies pour la démontrer rigoureusement. Mais elle est juste, et elle donne à Bernoulli sa revanche posthume : la superposition des modes propres n'est pas un cas particulier, c'est le cas général.
Difficile de surestimer la portée de ce résultat. Analyser un son en fréquences, compresser un fichier audio en MP3 ou une image en JPEG, filtrer un signal, reconnaître une voix, imager un cerveau par IRM, détecter une onde gravitationnelle : tout cela repose sur l'analyse de Fourier.
L'analyse temps-fréquence, qui suit l'évolution du spectre au cours du temps, en est le prolongement direct. Le spectrogramme — un graphique où le temps est en abscisse, la fréquence en ordonnée, et l'intensité en couleur — est aujourd'hui l'outil standard pour étudier la parole, les chants d'oiseaux, les vocalisations des baleines, ou l'état d'une machine tournante. Une question née d'une corde de clavecin a fini par produire l'un des outils les plus utilisés de toute la technique.
11.9.3 Ouverture : découper l'octave, de Pythagore à Bach
Ce qui suit ne fait pas partie des savoirs exigibles : c'est une ouverture, que le programme mentionne parmi ses « pistes de mise en œuvre ». À lire pour le plaisir, non pour l'examen.
L'école pythagoricienne, au VIe siècle avant notre ère, observe que les sons produits par des cordes dont les longueurs sont dans des rapports de petits nombres entiers — , , — s'accordent particulièrement bien. Elle en tire une doctrine : l'harmonie du monde s'écrit en nombres.
De cette observation naît une longue histoire technique. Construire une gamme entière à partir de ces rapports simples se heurte à une impossibilité arithmétique : les puissances de ne retombent jamais exactement sur une puissance de . Il faut donc, à un moment, tricher un peu — et chaque époque a choisi son compromis. Le tempérament égal, qui divise l'octave en douze intervalles rigoureusement identiques, est l'un d'eux ; il s'impose progressivement au XVIIIe siècle. Le Clavier bien tempéré de Jean-Sébastien Bach ( et ), qui parcourt les vingt-quatre tonalités, célèbre la liberté que permet un accord de ce type.
Ce qu'il faut en retenir n'est pas la technique, mais la leçon : un problème d'oreille est devenu un problème de nombres, et le nombre a fini par imposer un compromis à l'oreille. Rares sont les domaines où la rencontre entre les mathématiques et un art est aussi ancienne et aussi féconde.
11.10 Bilan
Ce qu'il faut savoir
- Un son pur est associé à un signal sinusoïdal du temps ; sa fréquence détermine sa hauteur.
- Un signal périodique de fréquence se décompose en une somme de sinusoïdes de fréquences , , … ; est la fréquence fondamentale, les autres sont les harmoniques, et le son est dit composé.
- L'intensité sonore est la puissance transportée par unité de surface (Wm) ; le niveau d'intensité sonore , en décibels, en est une mesure sur une échelle logarithmique : avec Wm.
- La fréquence fondamentale d'une corde tendue ne dépend que de sa longueur, de sa tension et de sa masse par unité de longueur.
- Dans un instrument à vent, un phénomène analogue se produit par vibration de l'air dans un tuyau.
- Un intervalle musical est le rapport de deux fréquences fondamentales ; un rapport de définit l'octave, et les deux sons portent le même nom de note.
- Une gamme est une suite finie de notes réparties sur une octave.
Ce qu'il faut savoir faire
- Utiliser un logiciel d'analyse spectrale : relever la fondamentale, vérifier que les autres raies en sont des multiples, comparer des timbres.
- Passer de à et de à ; savoir que vaut dB, que vaut dB, et que les décibels ne s'additionnent pas.
- Relier qualitativement la fréquence fondamentale d'une corde à sa longueur, sa tension et sa masse linéique.
- Identifier deux notes à l'octave à partir de leurs spectres, en calculant le rapport des fondamentales et en vérifiant l'inclusion des raies.
Quatre nombres à retenir
ms, la vitesse du son dans l'air. Hz à Hz, le domaine audible — environ dix octaves. Hz, le la du diapason. Wm, l'intensité de référence des décibels.
Ce que ce chapitre dit de la science elle-même
Il dit d'abord qu'un phénomène banal peut cacher une structure rigoureuse. Tout ce que nous entendons — une voix, un moteur, un violon — se ramène à trois nombres : une fréquence, un ensemble d'amplitudes, une intensité. C'est peu, et c'est suffisant.
Il dit ensuite qu'un outil forgé pour un problème sert souvent ailleurs. Fourier cherchait à décrire la propagation de la chaleur ; il a fourni l'outil qui analyse les sons, compresse les images et détecte les ondes gravitationnelles. La recherche fondamentale a cette étrange propriété de produire ses applications les plus utiles là où personne ne les attendait.
Il dit encore que la sensation n'est pas la mesure. L'oreille ne répond pas proportionnellement à l'intensité ; les décibels sont un compromis entre ce que l'on mesure et ce que l'on ressent. Confondre les deux, c'est croire que deux machines font deux fois plus de bruit qu'une seule.
Il dit enfin où s'arrête la physique. Que le rapport soit entendu comme « la même note » est un fait ; que l'octave se découpe en sept notes, en cinq ou en vingt-deux relève d'un choix culturel. Savoir tracer cette frontière — ici la nature, là la convention — est peut-être ce que ce chapitre a de plus précieux à enseigner.