Où va un son trop aigu ?

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 12 — Le son, une information à coder

Énoncé

On échantillonne à $f_{e} = 22050$ Hz, sans filtre anti-repliement. Trois sons purs sont présents : $8$ kHz, $15$ kHz, $20$ kHz. La fréquence perçue après numérisation vaut $∣ f - k f_{e} ∣$ , où $k$ est l'entier le plus proche de $f / f_{e}$ . 1. Quelle est la fréquence maximale correctement représentable ? 2. Traiter les trois cas. 3. Que change l'ajout d'un filtre anti-repliement ?

Corrigé

1. $f_{e} /2 = 11025$ Hz. Au-delà, le critère de Shannon est violé.

2. Pour $8$ kHz : $8/22, 05 = 0, 36$ , donc $k = 0$ et la fréquence perçue vaut $8$ kHz. Le son est correctement représenté. Pour $15$ kHz : $15/22, 05 = 0, 68$ , donc $k = 1$ et $∣15 - 22, 05∣ = 7, 05$ kHz. Le sifflement devient un son moyen. Pour $20$ kHz : $20/22, 05 = 0, 91$ , donc $k = 1$ et $∣20 - 22, 05∣ = 2, 05$ kHz. L'aigu extrême, inaudible pour beaucoup d'adultes, devient une note très audible en plein milieu du spectre de la parole. C'est le pire des cas.

3. Le filtre supprime les composantes au-dessus de $11025$ Hz avant l'échantillonnage. Les sons de $15$ et $20$ kHz disparaissent purement et simplement au lieu de réapparaitre déguisés. On perd de l'information, mais on n'en invente plus : c'est toujours préférable.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.