Interpoler une année manquante

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 15 — Analyse de l'information chiffrée

Énoncé

La teneur moyenne de l'atmosphère en dioxyde de carbone, mesurée à l'observatoire de Mauna Loa (Hawaï), est donnée en parties par million (ppm).

Année	1970	1980	1990	2000	2010	2020
Rang $x$	0	10	20	30	40	50
Teneur $y$ (ppm)	326	339	354	370	390	414

Calculer le point moyen.
Déterminer la droite de Mayer.
Estimer la teneur en 1995. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
Les hausses par décennie sont 13, 15, 16, 20 et 24 ppm. Que révèle cette suite sur la qualité du modèle affine ?

Corrigé

1. $x ˉ = \frac{0 + 10 + 20 + 30 + 40 + 50}{6} = 25$ et $y ˉ = \frac{326 + 339 + 354 + 370 + 390 + 414}{6} = \frac{2 193}{6} = 365, 5$ . Donc $G (25; 365, 5)$ , soit l'année 1995 et 365,5 ppm.

2. Premier groupe (1970, 1980, 1990) : $x ˉ_{1} = 10$ et $y ˉ_{1} = \frac{326 + 339 + 354}{3} = \frac{1 019}{3} \approx 339, 67$ . Second groupe (2000, 2010,

: $x ˉ_{2} = 40$ et $y ˉ_{2} = \frac{370 + 390 + 414}{3} = \frac{1 174}{3} \approx 391, 33$ .

$a = \frac{391 , 33 - 339 , 67}{40 - 10} = \frac{51 , 66}{30} \approx 1, 72, b = 339, 67 - 1, 72 \times 10 = 322, 47.$

Donc $y = 1, 72 x + 322, 47$ : la teneur augmente en moyenne de 1,72 ppm par an.

3. Pour 1995, $x = 25$ : $y = 1, 72 \times 25 + 322, 47 = 43 + 322, 47 = 365, 47 \approx 365$ ppm. La valeur 25 est comprise entre 0 et 50 : c'est une interpolation. On remarque qu'elle redonne presque exactement l'ordonnée du point moyen, ce qui est logique puisque 1995 est l'année moyenne de la série.

4. Les hausses par décennie ne sont pas constantes : elles augmentent régulièrement (13, puis 15, 16, 20, 24). Un modèle affine suppose au contraire une hausse constante. Le modèle décrit donc convenablement la tendance d'ensemble, mais il sous-estime les périodes récentes et surestimerait le passé lointain. Toute extrapolation vers l'avenir en sous-estimerait la teneur.

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