L'alarme et l'intrusion

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 16 — Phénomènes aléatoires

Énoncé

Un système d'alarme se déclenche dans 98 % des intrusions réelles, mais aussi, par erreur, dans 2 % des nuits sans intrusion. Une intrusion se produit une nuit sur mille.

Probabilité que l'alarme se déclenche une nuit donnée ?
Sachant que l'alarme s'est déclenchée, probabilité qu'il y ait eu une intrusion ?
Sur une année de 365 nuits, combien de déclenchements en moyenne, et combien d'intrusions ?
Le fabricant vante une alarme « fiable à 98 % ». Que faut-il en penser ?

Corrigé

Notons $I$ « intrusion », $A$ « l'alarme sonne ». On a $P (I) = 0, 001$ , $P_{I} (A) = 0, 98$ , $P_{I} (A) = 0, 02$ .

1. $P (A) = 0, 001 \times 0, 98 + 0, 999 \times 0, 02 = 0, 00098 + 0, 01998 = 0, 02096$ , soit environ 2,1 %.

2. $P_{A} (I) = \frac{0 , 00098}{0 , 02096} \approx 0, 047$ : moins de 5 %. Quand cette alarme sonne, il n'y a presque jamais d'intrusion.

3. $365 \times 0, 02096 \approx 7, 7$ déclenchements par an, pour $365 \times 0, 001 \approx 0, 37$ intrusion. Autrement dit : une intrusion tous les trois ans environ, mais près de huit sonneries par an.

4. Le chiffre de 98 % est $P_{I} (A)$ : il décrit ce que fait l'alarme quand il y a une intrusion. Le propriétaire, lui, s'intéresse à $P_{A} (I)$ : « quand ça sonne, dois-je m'inquiéter ? ». C'est exactement la confusion du test médical. Un taux de fausses alarmes de 2 % paraît minuscule, mais il s'applique à 999 nuits sur 1 000 : il produit vingt fois plus de sonneries que les intrusions elles-mêmes. Une alarme qui sonne pour rien finit débranchée — et c'est ainsi qu'un excès de sensibilité devient un défaut de sécurité.

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