Le lièvre et la tortue

1. Quatre tours au maximum : soit le 6 sort avant, soit la tortue avance quatre fois de suite.

2. L'arbre a quatre niveaux, mais chaque branche « 6 » s'arrête aussitôt. Il y a donc cinq chemins seulement : « 6 » au premier tour ; « pas 6, 6 » ; « pas 6, pas 6, 6 » ; « pas 6, pas 6, pas 6, 6 » ; et « pas 6 » quatre fois de suite.

3. La tortue gagne par un unique chemin, celui où le 6 ne sort jamais :

$$P(\text{tortue})={\left(\frac{5}{6}\right)}^4=\frac{625}{1296}\approx 0,482.$$

4. $P(\text{lieˋvre})=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx 0,518$.

5. Le jeu n'est pas équitable : le lièvre gagne environ 52 fois sur 100. Pour l'équilibrer, on peut demander à la tortue de n'avancer que trois fois — elle gagnerait alors avec la probabilité ${\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{125}{216}\approx 0,579$, ce qui la favoriserait trop —, ou bien conserver quatre cases et faire gagner le lièvre seulement sur un 6 obtenu avec un dé à sept faces. Il n'existe pas de correction parfaite avec un dé cubique : l'écart entre 0,482 et 0,5 est le prix du choix des nombres 6 et 4. Concevoir un jeu exactement équitable est un exercice de mathématiques à part entière.