Quatre feux tricolores

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 16 — Phénomènes aléatoires

Énoncé

Sur son trajet, un cycliste rencontre quatre feux tricolores. On admet que chaque feu est vert avec une probabilité de 0,4 au moment où il l'atteint, indépendamment des autres.

Probabilité que les quatre feux soient verts ?
Probabilité qu'aucun ne le soit ?
Probabilité d'en avoir exactement deux verts ?
Probabilité d'en avoir au moins trois verts ?
Vérifier que la somme des probabilités pour $k$ allant de 0 à 4 vaut 1.

Corrigé

Chaque chemin comportant $k$ verts a pour probabilité $0, 4^{k} \times 0, 6^{4 - k}$ . Le nombre de chemins, compté sur l'arbre à quatre niveaux, vaut 1, 4, 6, 4, 1 pour $k = 0, 1, 2, 3, 4$ .

1. $0, 4^{4} = 0, 0256$ .

2. $0, 6^{4} = 0, 1296$ .

3. $6 \times 0, 4^{2} \times 0, 6^{2} = 6 \times 0, 16 \times 0, 36 = 0, 3456$ .

4. Trois verts : $4 \times 0, 4^{3} \times 0, 6 = 4 \times 0, 064 \times 0, 6 = 0, 1536$ . Quatre verts : 0,0256. Total : $0, 1536 + 0, 0256 = 0, 1792$ .

5. Un vert : $4 \times 0, 4 \times 0, 6^{3} = 4 \times 0, 4 \times 0, 216 = 0, 3456$ . La somme vaut

$0, 1296 + 0, 3456 + 0, 3456 + 0, 1536 + 0, 0256 = 1, 0000. ✓$

Le cas le plus probable, avec 34,6 %, est d'avoir un seul feu vert — à égalité avec deux feux verts.

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