Trois lancers d'un dé

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 16 — Phénomènes aléatoires

Énoncé

On lance trois fois de suite un dé cubique équilibré. On appelle « succès » le fait d'obtenir un six.

Justifier que l'on répète trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, et donner $p$ .
Probabilité d'obtenir trois six ?
Probabilité de n'obtenir aucun six ?
Probabilité d'obtenir exactement un six ?
Probabilité d'obtenir au moins un six ?

Corrigé

1. Chaque lancer n'a que deux issues qui nous intéressent, « six » ou « pas six » : c'est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = \frac{1}{6}$ . Le dé n'a pas de mémoire et n'est pas modifié par les lancers précédents : les trois épreuves sont identiques et indépendantes.

2. Un seul chemin : $(\frac{1}{6})^{3} = \frac{1}{216} \approx 0, 0046$ .

3. Un seul chemin : $(\frac{5}{6})^{3} = \frac{125}{216} \approx 0, 579$ .

4. Trois chemins (le six au premier, au deuxième ou au troisième lancer), chacun de probabilité $\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{216}$ , d'où $3 \times \frac{25}{216} = \frac{75}{216} \approx 0, 347$ .

5. Par l'évènement contraire : $1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0, 421$ . Contrairement à ce qu'on entend souvent, trois lancers ne donnent pas « une chance sur deux » d'obtenir un six : ils en donnent un peu moins de 42 %.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.