L'amortissement d'un matériel

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 17 — Variation linéaire

Énoncé

Une entreprise achète une machine 24 000 €. Sa valeur comptable est réduite chaque année de la même somme, de façon qu'elle soit nulle au bout de 8 ans : c'est un amortissement linéaire.

Calculer la somme retirée chaque année.
Donner $V (n)$ , la valeur comptable après $n$ années, sous les deux formes.
Quelle est la raison de cette suite ? Quel est son sens de variation ?
Au bout de combien d'années la valeur passe-t-elle sous 10 000 € ?
Le modèle a-t-il un sens pour $n = 12$ ?

Corrigé

1. $\frac{24 000}{8} = 3000$ € par an.

2. Par récurrence : $V (0) = 24000$ et $V (n + 1) = V (n) - 3000$ . Explicitement : $V (n) = 24000 - 3000 n$ .

3. La raison vaut $- 3000$ . Elle est négative, donc la suite est décroissante.

4. $24000 - 3000 n < 10000$ donne $- 3000 n < - 14000$ , soit $n > \frac{14 000}{3 000} \approx 4, 67$ — la division par $- 3000$ retourne l'inégalité. Le premier entier est $n = 5$ : $V (4) = 12000$ et $V (5) = 9000$ .

5. Non. La formule donnerait $V (12) = 24000 - 36000 = - 12000$ €, une valeur négative dépourvue de sens. Le modèle n'est valable que pour $0 ⩽ n ⩽ 8$ ; au-delà, la valeur comptable reste nulle. Tout modèle a un domaine de validité, et une formule ne le connaît pas toute seule.

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