La cuve qui se vide

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 17 — Variation linéaire

Énoncé

Une cuve contient 900 litres. Une pompe la vide à débit constant de 25 litres par minute.

Exprimer le volume $V (t)$ restant après $t$ minutes.
S'agit-il d'une évolution discrète ou continue ? Justifier.
Au bout de combien de temps la cuve est-elle vide ?
Au bout de combien de temps reste-t-il moins de 200 litres ?
Une seconde cuve de 1 400 litres se vide à 40 litres par minute. Laquelle des deux sera vide la première ? À quel instant contiennent-elles la même quantité ?

Corrigé

1. $V (t) = 900 - 25 t$ , pour $t$ exprimé en minutes.

2. Continue : le volume existe à chaque instant, y compris à $t = 3, 5$ minutes. On a donc affaire à une fonction affine, et non à une suite ; sa représentation est un segment de droite complet.

3. $900 - 25 t = 0$ donne $t = 36$ minutes.

4. $900 - 25 t < 200$ donne $- 25 t < - 700$ , soit $t > 28$ minutes.

5. La seconde cuve se vide en $\frac{1 400}{40} = 35$ minutes : c'est elle qui sera vide la première, bien qu'elle contienne davantage au départ. Les deux volumes sont égaux lorsque $900 - 25 t = 1400 - 40 t$ , soit $15 t = 500$ , soit $t \approx 33, 3$ minutes ; il reste alors environ $900 - 25 \times 33, 3 \approx 67$ litres dans chacune.

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