Le club de natation

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 17 — Variation linéaire

Énoncé

Un club de natation comptait 340 adhérents en septembre. Chaque mois, il en gagne 18. On note $u (n)$ le nombre d'adhérents $n$ mois après septembre.

Donner la définition par récurrence, puis la définition explicite de $u$ .
Calculer le nombre d'adhérents en janvier.
La piscine ne peut accueillir que 500 adhérents. À partir de quel mois la limite est-elle atteinte ?
Le club affirme : « nous grandissons de 18 adhérents par mois, donc de 216 par an ». Est-ce cohérent avec le modèle ?

Corrigé

1. Par récurrence : $u (0) = 340$ et $u (n + 1) = u (n) + 18$ . Explicitement : $u (n) = 340 + 18 n$ .

2. Janvier est le quatrième mois après septembre : $u (4) = 340 + 72 = 412$ adhérents.

3. On résout $340 + 18 n ⩾ 500$ , soit $18 n ⩾ 160$ , soit $n ⩾ \frac{160}{18} \approx 8, 9$ . Le premier entier convenable est $n = 9$ . Vérification : $u (8) = 340 + 144 = 484 < 500$ et $u (9) = 340 + 162 = 502 ⩾ 500$ . ✓ Le rang 9 correspond au mois de juin.

4. Oui : $12 \times 18 = 216$ . Dans une évolution linéaire, la variation sur douze périodes est bien douze fois la variation d'une période — c'est même la définition. Ce raisonnement serait faux pour une évolution exponentielle.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.