Le club de natation

1. Par récurrence : $u(0)=340$ et $u(n+1)=u(n)+18$. Explicitement : $u(n)=340+18n$.

2. Janvier est le quatrième mois après septembre : $u(4)=340+72=412$ adhérents.

3. On résout $340+18n⩾500$, soit $18n⩾160$, soit $n⩾\frac{160}{18}\approx 8,9$. Le premier entier convenable est $n=9$. Vérification : $u(8)=340+144=484<500$ et $u(9)=340+162=502⩾500$. ✓ Le rang 9 correspond au mois de juin.

4. Oui : $12\times 18=216$. Dans une évolution linéaire, la variation sur douze périodes est bien douze fois la variation d'une période — c'est même la définition. Ce raisonnement serait faux pour une évolution exponentielle.