Le motif en T

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 17 — Variation linéaire

Énoncé

À l'étape $n$ , on construit un T fait d'une barre horizontale de $2 n + 1$ carreaux, surmontant un pied vertical de $n$ carreaux.

Dessiner les motifs des étapes 1, 2 et 3, et compter leurs carreaux.
Donner une expression explicite de $t (n)$ , le nombre de carreaux à l'étape $n$ .
Vérifier que la suite est arithmétique et donner sa raison.
Combien de carreaux à l'étape 25 ?
Existe-t-il une étape comportant exactement 100 carreaux ?

Corrigé

1. Étape 1 : barre de 3, pied de 1, soit 4 carreaux. Étape 2 : barre de 5, pied de 2, soit 7. Étape 3 : barre de 7, pied de 3, soit 10.

2. $t (n) = (2 n + 1) + n = 3 n + 1$ .

3. $t (n + 1) - t (n) = (3 (n + 1) + 1) - (3 n + 1) = 3$ . La différence est constante : la suite est arithmétique de raison 3. On le retrouve sur les valeurs : 4, 7, 10, 13…

4. $t (25) = 3 \times 25 + 1 = 76$ carreaux.

5. Il faudrait $3 n + 1 = 100$ , soit $3 n = 99$ , soit $n = 33$ : oui, l'étape 33 comporte exactement 100 carreaux. En revanche aucune étape n'en comporte 99, car $3 n + 1 = 99$ donnerait $n = \frac{98}{3}$ , qui n'est pas entier. Un modèle discret ne prend pas toutes les valeurs.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.