Un placement à intérêts simples

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 17 — Variation linéaire

Énoncé

On place 2 500 € sur un livret à intérêts simples au taux annuel de 3 %. Intérêts simples signifie que les intérêts sont calculés chaque année sur le capital initial et versés à part, sans jamais produire eux-mêmes d'intérêts. On note $C (n)$ la somme totale possédée après $n$ années.

Calculer l'intérêt versé chaque année.
Donner $C (n)$ et justifier que la suite est arithmétique.
Au bout de combien d'années la somme dépasse-t-elle 3 000 € ?
Combien vaudrait le placement au bout de 20 ans ?
Que se passerait-il si les intérêts étaient composés, c'est-à-dire ajoutés au capital chaque année ?

Corrigé

1. $2500 \times 0, 03 = 75$ € chaque année, toujours le même montant.

2. $C (0) = 2500$ et $C (n + 1) = C (n) + 75$ , donc $C (n) = 2500 + 75 n$ . C'est une suite arithmétique de raison 75 : la différence entre deux années consécutives est constante, parce que l'intérêt porte toujours sur le même capital de départ.

3. $2500 + 75 n ⩾ 3000$ donne $75 n ⩾ 500$ , soit $n ⩾ \frac{500}{75} \approx 6, 67$ . Il faut donc 7 années : $C (6) = 2950$ et $C (7) = 3025$ .

4. $C (20) = 2500 + 75 \times 20 = 2500 + 1500 = 4000$ €.

5. Avec des intérêts composés, le capital serait multiplié par 1,03 chaque année et non augmenté de 75 €. La deuxième année rapporterait $2575 \times 0, 03 = 77, 25$ € au lieu de 75, la troisième davantage encore. Au bout de vingt ans on obtiendrait environ 4 515 €, soit 515 € de plus. C'est le passage du modèle linéaire au modèle exponentiel, objet du dernier chapitre : sur vingt ans l'écart est déjà net, sur cinquante il devient considérable.

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