Chiffre d'affaires et bénéfice

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 18 — Modélisation quadratique

Énoncé

On reprend le modèle du cours : $q (p) = - 20 p + 600$ articles vendus au prix unitaire $p$ , et $R (p) = - 20 p^{2} + 600 p$ le chiffre d'affaires. Chaque article coûte 4 € à produire.

Exprimer le coût total $C (p)$ en fonction du prix.
En déduire le bénéfice $B (p) = R (p) - C (p)$ .
Factoriser $B (p)$ et déterminer ses racines.
Déterminer le prix qui maximise le bénéfice, et le bénéfice correspondant.
Comparer au prix qui maximisait le chiffre d'affaires. Commenter.
Pour quels prix l'entreprise est-elle bénéficiaire ?

Corrigé

1. $C (p) = 4 \times q (p) = 4 (- 20 p + 600) = - 80 p + 2400$ .

2. $B (p) = (- 20 p^{2} + 600 p) - (- 80 p + 2400) = - 20 p^{2} + 680 p - 2400$ .

3. On remarque que $B (p) = (p - 4) \times q (p) = (p - 4) (- 20 p + 600) = - 20 (p - 4) (p - 30)$ : c'est plus rapide que de factoriser la forme développée. Vérifions : $- 20 (p^{2} - 34 p + 120) = - 20 p^{2} + 680 p - 2400$ . ✓ Les racines sont 4 et 30.

4. L'axe de symétrie passe au milieu : $p = \frac{4 + 30}{2} = 17$ €. Le bénéfice maximal vaut $B (17) = - 20 \times 13 \times (- 13) = 3380$ €.

5. Le chiffre d'affaires était maximal à 15 €, le bénéfice l'est à 17 €. Ce n'est pas le même prix, et l'écart va dans le sens attendu : puisque chaque article coûte à produire, mieux vaut en vendre un peu moins, un peu plus cher. Confondre chiffre d'affaires et bénéfice est une erreur d'analyse économique courante, et la parabole la rend visible.

6. $B (p) > 0$ entre les racines, puisque $a = - 20 < 0$ : pour $4 < p < 30$ euros. En dessous de 4 €, on vend à perte ; au-dessus de 30 €, on ne vend plus rien.

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