Distance d'arrêt — exercice corrigé d'enseignement scientifique (première) (chapitre 18)

Distance d'arrêt

Modélisation quadratique · niveau 2

Énoncé

On reprend le modèle du code de la route sur route sèche : distance de réaction $r (v) = 0, 3 v$ et distance de freinage $f (v) = 0, 005 v^{2}$ , où $v$ est en km/h et les distances en mètres.

Vérifier ces formules à 50 km/h et à 130 km/h.
Exprimer la distance d'arrêt $d (v)$ et préciser sa nature.
Calculer $d (50)$ et $d (100)$ . La distance a-t-elle doublé ?
Sur route mouillée, la distance de freinage double. Exprimer $d_{m} (v)$ et calculer $d_{m} (90)$ .
À 130 km/h sur route mouillée, un obstacle apparaît à 150 m. Peut-on s'arrêter ?

Corrigé

1. À 50 km/h : $r = 0, 3 \times 50 = 15$ m et $f = 0, 005 \times 2500 = 12, 5$ m. À 130 km/h : $r = 39$ m et $f = 0, 005 \times 16900 = 84, 5$ m. Ce sont bien les valeurs de la figure du début du chapitre.

2. $d (v) = 0, 005 v^{2} + 0, 3 v$ : fonction polynôme de degré 2, avec $a = 0, 005 > 0$ , $b = 0, 3$ et $c = 0$ . Elle est factorisée d'emblée : $d (v) = v (0, 005 v + 0, 3)$ .

3. $d (50) = 12, 5 + 15 = 27, 5$ m et $d (100) = 50 + 30 = 80$ m. La vitesse a doublé, la distance a été multipliée par $\frac{80}{27 , 5} \approx 2, 9$ : presque trois fois. C'est le terme en $v^{2}$ qui l'emporte à grande vitesse.

4. $d_{m} (v) = 0, 010 v^{2} + 0, 3 v$ . À 90 km/h : $0, 010 \times 8100 + 27 = 81 + 27 = 108$ m, contre 67,5 m sur route sèche.

5. $d_{m} (130) = 0, 010 \times 16900 + 39 = 169 + 39 = 208$ m. Non : il faudrait plus de deux cents mètres, et l'obstacle est à 150. C'est très exactement ce que les campagnes de sécurité routière cherchent à faire comprendre — et la raison est mathématique : un terme en $v^{2}$ ne pardonne pas.