Forme factorisée : l'étude complète

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 18 — Modélisation quadratique

Énoncé

Soit $f (x) = - 2 (x + 1) (x - 5)$ .

Déterminer les racines de $f$ .
Déterminer l'axe de symétrie et les coordonnées du sommet.
Le sommet est-il un maximum ou un minimum ? Justifier.
Dresser le tableau de variations, puis le tableau de signes.
Développer $f$ , et vérifier la valeur de $f (0)$ sur les deux formes.
Résoudre l'inéquation $f (x) ⩾ 0$ .

Corrigé

1. Un produit est nul si l'un des facteurs l'est : $x = - 1$ ou $x = 5$ .

2. L'axe passe au milieu : $x = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ . Puis $f (2) = - 2 \times 3 \times (- 3) = 18$ . Le sommet est $(2; 18)$ .

3. Comme $a = - 2 < 0$ , la parabole est tournée vers le bas : c'est un maximum. Le maximum de $f$ vaut donc 18.

4. Tableau de variations :

$x$		2
		18
$f (x)$	$↗$		$↘$

Tableau de signes : $a$ est négatif, donc $f$ est négative à l'extérieur des racines et positive entre elles.

$x$	$- \infty$		$- 1$		5		$+ \infty$
$f (x)$		$-$	0	$+$	0	$-$

5. $f (x) = - 2 (x^{2} - 5 x + x - 5) = - 2 (x^{2} - 4 x - 5) = - 2 x^{2} + 8 x + 10$ . Sur la forme factorisée, $f (0) = - 2 \times 1 \times (- 5) = 10$ ; sur la développée, $f (0) = 10$ . ✓

6. D'après le tableau de signes, $f (x) ⩾ 0$ pour $- 1 ⩽ x ⩽ 5$ .

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