Reconnaître une parabole

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 18 — Modélisation quadratique

Énoncé

Pour chacune des fonctions suivantes, dire s'il s'agit d'une fonction polynôme de degré 2 ; si oui, préciser $a$ , $b$ et $c$ , l'orientation de la parabole et l'ordonnée du point d'abscisse 0.

$f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 1$
$g (x) = 7 - 2 x$
$h (x) = - x^{2} + 4$
$k (x) = (x - 3) (x + 2)$
$m (x) = 5 x^{2}$
$n (x) = (x - 1)^{2} - (x + 1)^{2}$

Corrigé

1. Oui : $a = 3$ , $b = - 5$ , $c = 1$ . Vers le haut, $f (0) = 1$ .

2. Non : c'est une fonction affine, il n'y a pas de terme en $x^{2}$ .

3. Oui : $a = - 1$ , $b = 0$ , $c = 4$ . Vers le bas, $h (0) = 4$ .

4. Oui : en développant, $k (x) = x^{2} - x - 6$ , donc $a = 1$ , $b = - 1$ , $c = - 6$ . Vers le haut, $k (0) = - 6$ — ce qu'on retrouve directement sur la forme factorisée : $(- 3) \times 2 = - 6$ .

5. Oui : $a = 5$ , $b = 0$ , $c = 0$ . Vers le haut, $m (0) = 0$ : le sommet est à l'origine.

6. Non, et c'est le piège : $n (x) = (x^{2} - 2 x + 1) - (x^{2} + 2 x + 1) = - 4 x$ . Les termes en $x^{2}$ se sont annulés, il reste une fonction linéaire. Il faut toujours développer avant de conclure.

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