Un modèle simple de fiscalité

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 18 — Modélisation quadratique

Énoncé

Une commune envisage une taxe locale dont le montant, en euros, serait donné par

$T (r) = 0, 0002 r^{2},$

où $r$ est le revenu annuel du foyer, en euros, dans la limite de $r ⩽ 60000$ .

Calculer la taxe pour des revenus de 20 000, 40 000 et 60 000 €.
Calculer le taux moyen d'imposition dans chaque cas.
Ce barème est-il proportionnel ? progressif ? Justifier.
Quand le revenu double, par combien la taxe est-elle multipliée ?
Comparer à l'impôt sur le revenu étudié au chapitre sur la variation linéaire. Quelle différence essentielle voyez-vous ?

Corrigé

1. $T (20000) = 0, 0002 \times 4 \times 1 0^{8} = 80$ € ; $T (40000) = 0, 0002 \times 1, 6 \times 1 0^{9} = 320$ € ; $T (60000) = 0, 0002 \times 3, 6 \times 1 0^{9} = 720$ €.

2. $\frac{80}{20 000} = 0, 4%$ ; $\frac{320}{40 000} = 0, 8%$ ; $\frac{720}{60 000} = 1, 2%$ .

3. Il n'est pas proportionnel : la taxe n'est pas un pourcentage fixe du revenu. Il est progressif, puisque le taux moyen augmente avec le revenu. Mieux : ici le taux moyen est lui-même proportionnel au revenu, ce qui fait de ce barème un modèle très fortement progressif.

4. Par 4 : c'est la propriété du carré. Passer de 20 000 à 40 000 € multiplie la taxe par $\frac{320}{80} = 4$ .

5. L'impôt sur le revenu réel est affine par morceaux : son taux marginal est constant sur chaque tranche et augmente par paliers. Ce modèle quadratique, lui, fait croître le taux continûment, sans palier ni seuil. Il est plus lisse, mais il devient très vite écrasant pour les hauts revenus — d'où la borne imposée à 60 000 €, sans laquelle la taxe dépasserait le revenu lui-même au-delà de 5 000 000 €. Aucun de ces modèles n'est « le bon » : ce sont des choix politiques, que les mathématiques permettent seulement de comparer.

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