Datation au carbone 14

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 19 — Variation exponentielle

Énoncé

La demi-vie du carbone 14 vaut 5 730 ans. On note $p (n)$ la proportion de carbone 14 restante après $n$ demi-vies, la proportion initiale valant 1.

Exprimer $p (n)$ et calculer $p (1)$ , $p (2)$ , $p (3)$ , $p (4)$ .
Un échantillon contient 25 % du carbone 14 attendu. Quel est son âge ?
Un autre en contient 6,25 %. Quel est son âge ?
Un troisième en contient 60 %. Encadrer son âge entre deux multiples de la demi-vie.
Au-delà d'environ 50 000 ans, la méthode devient inutilisable. Combien de demi-vies cela représente-t-il, et quelle proportion reste-t-il alors ?

Corrigé

1. $p (n) = 0, 5^{n}$ . Donc $p (1) = 0, 5$ ; $p (2) = 0, 25$ ; $p (3) = 0, 125$ ; $p (4) = 0, 0625$ .

2. 25 % correspond à $n = 2$ , soit $2 \times 5730 = 11460$ ans.

3. 6,25 % correspond à $n = 4$ , soit $4 \times 5730 = 22920$ ans.

4. 60 % est compris entre $p (0) = 1$ et $p (1) = 0, 5$ , donc l'âge est compris entre 0 et 5 730 ans. On affine : $0, 5^{0, 7} \approx 0, 616$ et $0, 5^{0, 75} \approx 0, 595$ . L'âge vaut donc environ $0, 74 \times 5730 \approx 4200$ ans.

5. $\frac{50 000}{5 730} \approx 8, 7$ demi-vies, et il reste alors $0, 5^{8, 7} \approx 0, 0024$ , soit environ 0,24 % du carbone 14 initial. À ce niveau, le signal devient trop faible pour être mesuré avec assez de précision : la limite de la méthode n'est pas une limite mathématique, c'est une limite de mesure.

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