Intérêts simples contre intérêts composés

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 19 — Variation exponentielle

Énoncé

On place 2 000 € pendant 25 ans, au taux de 4 % par an.

Intérêts simples : les intérêts, calculés sur le capital initial, sont versés à part chaque année. Exprimer $S (n)$ et calculer $S (25)$ .
Intérêts composés : les intérêts s'ajoutent au capital. Exprimer $C (n)$ et calculer $C (25)$ .
De quelle nature est chacune des deux suites ?
Au bout de combien d'années le capital composé dépasse-t-il 4 000 € ? Et le capital simple ?
Comparer les deux résultats à 25 ans et commenter.

Corrigé

1. Intérêt annuel fixe : $2000 \times 0, 04 = 80$ €. Donc $S (n) = 2000 + 80 n$ , et $S (25) = 2000 + 2000 = 4000$ €.

2. $C (n) = 2000 \times 1, 0 4^{n}$ , et $C (25) = 2000 \times 1, 0 4^{25} \approx 2000 \times 2, 6658 = 5331, 67$ €.

3. $S$ est arithmétique de raison 80 ; $C$ est géométrique de raison 1,04.

4. Pour $C$ , on essaie : $C (15) \approx 3601$ ; $C (17) \approx 3895$ ; $C (18) \approx 4051$ . Le seuil est franchi la 18<sup>e</sup> année. Pour $S$ , on résout $2000 + 80 n ⩾ 4000$ , soit $n ⩾ 25$ : il faut 25 années tout juste.

5. À 25 ans, l'écart atteint 1 332 €, soit deux tiers du capital initial. Le placement composé a gagné 7 ans sur l'objectif des 4 000 €. L'explication tient en une phrase : dans le second cas, les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts. La première année ils sont identiques (80 € contre 80 €), la vingt-cinquième ils valent 80 € contre 205 €.

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