Jusqu'où le modèle tient-il ?

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 19 — Variation exponentielle

Énoncé

Une jeune plante mesure 4 cm et grandit de 12 % par semaine.

Exprimer sa hauteur $h (n)$ après $n$ semaines.
Calculer $h (4)$ et $h (10)$ .
Au bout de combien de semaines dépasserait-elle 1 mètre ?
Que prévoit le modèle au bout de deux ans, soit 104 semaines ?
Commenter, et proposer ce qu'il faudrait faire du modèle.

Corrigé

1. $h (n) = 4 \times 1, 1 2^{n}$ , en centimètres.

2. $h (4) = 4 \times 1, 5735 \approx 6, 3$ cm ; $h (10) = 4 \times 3, 1058 \approx 12, 4$ cm.

3. Essais : $h (28) = 4 \times 1, 1 2^{28} \approx 4 \times 23, 88 = 95, 5$ cm ; $h (29) \approx 107$ cm. Il faudrait 29 semaines, soit environ sept mois. C'est encore plausible pour certaines plantes.

4. $h (104) = 4 \times 1, 1 2^{104}$ . Or $1, 1 2^{104} \approx 2, 0 \times 1 0^{5}$ , donc $h (104) \approx 8 \times 1 0^{5}$ cm, soit 8 kilomètres.

5. Le résultat est évidemment absurde : aucune plante ne dépasse une centaine de mètres. Le modèle exponentiel décrit correctement la phase de croissance juvénile, pendant laquelle la plante n'est limitée par rien ; il devient faux dès que la lumière, l'eau, les nutriments ou la résistance mécanique du tronc entrent en jeu. Il faudrait donc soit restreindre le modèle aux premiers mois, en le disant, soit passer à un modèle qui plafonne — ce que ce programme n'aborde pas, mais qui existe et qui s'appelle une croissance logistique.

La règle générale de ces trois chapitres tient ici en une phrase : un modèle d'évolution n'est jamais valable que sur l'intervalle où on l'a vérifié.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.