Quel modèle ? — exercice corrigé d'enseignement scientifique (première) (chapitre 19)

Quel modèle ?

Variation exponentielle · niveau 2

Énoncé

Pour chacune des séries suivantes, dire si un modèle linéaire, exponentiel, ou aucun des deux convient, en justifiant par des calculs.

Rang $n$	0	1	2	3	4
Série A	500	550	605	665,5	732,05
Série B	500	550	600	650	700
Série C	500	250	125	62,5	31,25
Série D	500	450	420	405	400

Traiter les quatre séries.
Pour celles qui sont géométriques, donner la raison et le taux d'évolution.
Pour la série A, calculer $u (10)$ ; pour la série B aussi. Comparer.

Corrigé

1 et 2.

A : différences 50 ; 55 ; 60,5 ; 66,55 — non constantes. Quotients : $\frac{550}{500} = 1, 1$ ; $\frac{605}{550} = 1, 1$ ; $\frac{665 , 5}{605} = 1, 1$ ; $\frac{732 , 05}{665 , 5} = 1, 1$ . Géométrique, raison 1,1, soit $+ 10%$ par rang.
B : différences toutes égales à 50. Arithmétique, raison 50.
C : quotients tous égaux à 0,5. Géométrique, raison 0,5, soit $- 50%$ par rang.
D : différences $- 50$ ; $- 30$ ; $- 15$ ; $- 5$ . Quotients : 0,9 ; 0,933 ; 0,964 ; 0,988. Ni les unes ni les autres ne sont constantes : aucun des deux modèles. Cette série semble se stabiliser vers une valeur limite, ce qu'aucun de nos deux modèles ne sait décrire.

3. Série A : $u (10) = 500 \times 1, 1^{10} \approx 500 \times 2, 5937 = 1296, 87$ . Série B : $u (10) = 500 + 500 = 1000$ . Au rang 1 les deux séries donnaient 550 ; au rang 10, l'écart atteint près de 300, soit 30 %. C'est la divergence annoncée : elle est indétectable au début et considérable ensuite.