Du grain de sel au nombre d'ions

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 2 — Des édifices ordonnés : les cristaux

Énoncé

Un cristal cubique de halite mesure $2, 0$ mm d'arête. On donne $a = 0, 564$ nm, $Z = 4$ motifs $NaCl$ par maille, $ρ = 2, 16$ g $\cdot$ cm $^{- 3}$ , $M (NaCl) = 58, 5$ g $\cdot$ mol $^{- 1}$ et $N_{A} = 6, 02 \times 1 0^{23}$ mol $^{- 1}$ . 1. Combien de mailles s'alignent sur une arête du cristal ? 2. Combien le cristal contient-il de mailles ? d'ions ? 3. Retrouver ce nombre d'ions par un tout autre chemin, en partant de la masse du cristal. 4. Que conclure de l'accord entre les deux méthodes ?

Corrigé

1. $2, 0$ mm $= 2, 0 \times 1 0^{- 3}$ m et $a = 5, 64 \times 1 0^{- 10}$ m : $n = \frac{2 , 0 \times 1 0 ^{- 3}}{5 , 64 \times 1 0 ^{- 10}} \approx 3, 5 \times 1 0^{6} mailles .$

2. Le cristal est cubique, donc il contient $n^{3}$ mailles : $(3, 5 \times 1 0^{6})^{3} \approx 4, 4 \times 1 0^{19} mailles .$ Chaque maille contient $4$ ions sodium et $4$ ions chlorure, soit $8$ ions : $N \approx 8 \times 4, 4 \times 1 0^{19} \approx 3, 5 \times 1 0^{20} ions .$

3. Volume du cristal : $(0, 20$ cm $)^{3} = 8, 0 \times 1 0^{- 3}$ cm $^{3}$ . Masse : $m = ρ V = 2, 16 \times 8, 0 \times 1 0^{- 3} = 1, 73 \times 1 0^{- 2}$ g. Quantité de matière : $n = m / M = 1, 73 \times 1 0^{- 2} /58, 5 = 2, 95 \times 1 0^{- 4}$ mol. Nombre de motifs : $2, 95 \times 1 0^{- 4} \times 6, 02 \times 1 0^{23} = 1, 78 \times 1 0^{20}$ , soit $3, 6 \times 1 0^{20}$ ions.

4. Les deux résultats coïncident à quelques pour cent près, alors que l'un part de la géométrie de la maille et l'autre d'une masse volumique mesurée. Cette cohérence est un argument fort en faveur du modèle cristallin : deux chemins indépendants aboutissent au même nombre. C'est ainsi qu'une description microscopique acquiert sa crédibilité.

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