Prédire une masse volumique

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 2 — Des édifices ordonnés : les cristaux

Énoncé

On donne $N_{A} = 6, 02 \times 1 0^{23}$ mol $^{- 1}$ . 1. Calculer la masse volumique du fer $α$ (cubique centré, $a = 0, 287$ nm, $M = 55, 8$ g $\cdot$ mol $^{- 1}$ ). 2. Même question pour le fer $γ$ (cubique à faces centrées, $a = 0, 359$ nm). 3. Comparer et interpréter. 4. La masse volumique mesurée du fer à température ambiante vaut $7, 87$ g $\cdot$ cm $^{- 3}$ . Le modèle est-il acceptable ?

Corrigé

1. La maille cubique centrée contient $Z = 8 \times \frac{1}{8} + 1 = 2$ atomes. On convertit : $a = 0, 287$ nm $= 2, 87 \times 1 0^{- 8}$ cm, donc $a^{3} = 2, 36 \times 1 0^{- 23}$ cm $^{3}$ . $ρ = \frac{Z M}{N _{A} a ^{3}} = \frac{2 \times 55 , 8}{6 , 02 \times 1 0 ^{23} \times 2 , 36 \times 1 0 ^{- 23}} = \frac{111 , 6}{14 , 2} \approx 7, 84 g \cdot cm^{- 3} .$

2. La maille cubique à faces centrées contient $Z = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4$ atomes, et $a^{3} = (3, 59 \times 1 0^{- 8})^{3} = 4, 63 \times 1 0^{- 23}$ cm $^{3}$ . $ρ = \frac{4 \times 55 , 8}{6 , 02 \times 1 0 ^{23} \times 4 , 63 \times 1 0 ^{- 23}} = \frac{223 , 2}{27 , 9} \approx 8, 01 g \cdot cm^{- 3} .$

3. Le fer $γ$ est environ $2$ à $3 %$ plus dense que le fer $α$ , alors qu'il est fait exactement des mêmes atomes. La différence vient uniquement de la manière dont ils sont empilés : l'arrangement à faces centrées est plus serré que l'arrangement centré. C'est la démonstration directe du savoir du chapitre : la structure microscopique conditionne une propriété macroscopique.

4. L'écart entre $7, 84$ et $7, 87$ est de $0, 4 %$ : le modèle est excellent. Un fer réel contient toutefois des impuretés et des défauts, et la mesure porte sur un métal polycristallin : on n'attendrait pas un accord parfait au millième.

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