La puissance quatrième

1. Soleil : $5,67\times 10^{-8}\times 5772^4\approx 6,3\times 10^7$ W$\cdot$m${}^{-2}$. Terre : $5,67\times 10^{-8}\times 288^4\approx 3,9\times 10^2$ W$\cdot$m${}^{-2}$.

2. $6,3\times 10^7/3,9\times 10^2\approx 1,6\times 10^5$. On le retrouve directement : le rapport des températures vaut $5772/288\approx 20$, et $20^4=160000=1,6\times 10^5$. Chaque mètre carré de Soleil rayonne cent soixante mille fois plus qu'un mètre carré de Terre.

3. La puissance totale vaut $P=\sigma T^4\times 4\pi R^2$. $$\frac{P_A}{P_B}={\left(\frac{T_A}{T_B}\right)}^4\times {\left(\frac{R_A}{R_B}\right)}^2=2^4\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=16\times \frac{1}{4}=4.$$ A rayonne quatre fois plus que B : l'effet de la température l'emporte largement sur celui de la taille, parce qu'elle intervient à la puissance quatre et non au carré.

4. On obtiendrait n'importe quoi. Avec $15{}^{\circ }$C au lieu de $288$ K, la puissance calculée serait $5,67\times 10^{-8}\times 15^4\approx 2,9\times 10^{-3}$ W$\cdot$m${}^{-2}$, soit cent trente mille fois trop peu ; et pour un objet à $-10{}^{\circ }$C, on trouverait une puissance négative, ce qui n'a aucun sens. Les lois de rayonnement exigent des kelvins parce que l'émission dépend de l'écart au zéro absolu, non au point de fusion de la glace.