La température d'équilibre d'une planète sans atmosphère

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 5 — Le bilan radiatif terrestre

Énoncé

On modélise une planète comme une sphère sans atmosphère, d'albédo $a$ , recevant un flux perpendiculaire $E$ et rayonnant comme un corps noir. On donne $σ = 5, 67 \times 1 0^{- 8}$ W $\cdot$ m $^{- 2} \cdot$ K $^{- 4}$ . 1. Écrire l'égalité entre puissance absorbée et puissance émise. 2. En déduire $T_{e}$ pour la Terre ( $E = 1361$ , $a = 0, 30$ ). 3. Recommencer avec $a = 0, 62$ , valeur qui serait celle d'une Terre entièrement recouverte de glace. 4. Que devient $T_{e}$ si l'albédo passe de $0, 30$ à $0, 31$ ? Commenter la sensibilité.

Corrigé

1. La planète absorbe $(1 - a) E π R^{2}$ et émet $σ T_{e}^{4} \times 4 π R^{2}$ . En égalant et en simplifiant par $π R^{2}$ : $(1 - a) \frac{E}{4} = σ T_{e}^{4} .$ Le rayon a disparu : la température d'équilibre ne dépend pas de la taille de la planète.

2. $(1 - 0, 30) \times 340 = 238$ W $\cdot$ m $^{- 2}$ , donc $T_{e} = (\frac{238}{5 , 67 \times 1 0 ^{- 8}})^{1/4} = (4, 20 \times 1 0^{9})^{1/4} \approx 255 K = - 18^{\circ} C .$

3. $(1 - 0, 62) \times 340 = 129$ W $\cdot$ m $^{- 2}$ , d'où $T_{e} = (2, 28 \times 1 0^{9})^{1/4} \approx 219$ K $= - 54^{\circ}$ C. Une Terre gelée resterait gelée : une fois la glace installée, son albédo élevé rend le retour en arrière très difficile. Les géologues ont des indices sérieux d'un tel épisode il y a environ $700$ millions d'années.

4. $(1 - 0, 31) \times 340 = 234, 6$ W $\cdot$ m $^{- 2}$ , d'où $T_{e} \approx 254, 0$ K. La température baisse d'environ $0, 9$ degré pour un centième d'albédo. Autrement dit, la température d'équilibre est très sensible à l'albédo : c'est ce qui rend la fonte des glaces si importante dans les bilans climatiques.

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