Ératosthène avec les moyens d'aujourd'hui

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (première), chapitre 8 — La forme de la Terre

Énoncé

Dunkerque est à la latitude $5 1^{\circ} 0 2^{'}$ N et Barcelone à $4 1^{\circ} 2 3^{'}$ N ; les deux villes sont presque sur le même méridien. La distance mesurée entre elles, le long du méridien, est de $1072$ km. 1. Convertir les deux latitudes en degrés décimaux et calculer leur différence. 2. En déduire la circonférence du méridien terrestre. 3. En déduire le rayon de la Terre. 4. Comparer aux valeurs admises ( $40008$ km et $6371$ km). 5. Quelle grandeur, dans ce calcul, tient le rôle de l'angle mesuré par Ératosthène ?

Corrigé

1. $5 1^{\circ} 0 2^{'} = 51 + 2/60 = 51, 03 3^{\circ}$ et $4 1^{\circ} 2 3^{'} = 41 + 23/60 = 41, 38 3^{\circ}$ . La différence vaut $Δ φ = 9, 65 0^{\circ}$ .

2. $C = \frac{360}{9 , 650} \times 1072 \approx 37, 31 \times 1072 \approx 39990 km.$

3. $R = \frac{39 990}{2 π} \approx 6365 km.$

4. L'écart sur la circonférence est de $18$ km, soit $0, 045 %$ ; sur le rayon, de $6$ km, soit $0, 09 %$ . Le résultat est excellent, et il ne mobilise que deux latitudes et une distance.

5. C'est la différence de latitude $Δ φ$ . La latitude étant précisément l'angle au centre entre l'équateur et le lieu, la différence des latitudes est l'angle au centre entre les deux lieux : exactement la grandeur qu'Ératosthène obtenait à partir d'une ombre. La méthode est la même ; seul l'instrument a changé.

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