Faire tourner le modèle logistique à la main

Exercice supplémentaire · niveau 2 · enseignement scientifique (terminale), chapitre 10 — Les modèles démographiques

Énoncé

Un troupeau est introduit sur une île. On modélise son effectif par $P_{n + 1} = P_{n} + 0, 4 P_{n} (1 - \frac{P _{n}}{200})$ , avec $P_{0} = 20$ . 1. Calculer $P_{1}$ , $P_{2}$ et $P_{3}$ . 2. Que vaudrait $P_{3}$ avec un modèle exponentiel de même taux initial ? 3. Que se passe-t-il si $P_{n} = 200$ ? si $P_{n} = 250$ ? 4. Interpréter le paramètre $200$ .

Corrigé

1. $P_{1} = 20 + 0, 4 \times 20 \times (1 - \frac{20}{200}) = 20 + 8 \times 0, 9 = 27, 2$ .

$P_{2} = 27, 2 + 0, 4 \times 27, 2 \times (1 - \frac{27 , 2}{200}) = 27, 2 + 10, 88 \times 0, 864 \approx 36, 6$ .

$P_{3} = 36, 6 + 0, 4 \times 36, 6 \times (1 - \frac{36 , 6}{200}) = 36, 6 + 14, 64 \times 0, 817 \approx 48, 6$ .

2. Le modèle exponentiel de taux $0, 4$ donnerait $P_{3} = 20 \times 1, 4^{3} = 20 \times 2, 744 = 54, 9$ . L'écart est déjà de $13 %$ au troisième pas, et il ne fera que croître.

3. Si $P_{n} = 200$ , le facteur $(1 - \frac{200}{200})$ vaut $0$ : alors $P_{n + 1} = P_{n} = 200$ . L'effectif ne bouge plus. Si $P_{n} = 250$ , le facteur vaut $1 - 1, 25 = - 0, 25$ et $P_{n + 1} = 250 + 0, 4 \times 250 \times (- 0, 25) = 250 - 25 = 225$ : la population diminue. Elle est repoussée vers $200$ par le haut comme par le bas.

4. Le nombre $200$ est la capacité de charge $K$ : l'effectif que l'île peut nourrir durablement. C'est un point d'équilibre stable, atteint par le bas comme par le haut.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.