Les modèles démographiques

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10.1 Introduction : combien serons-nous, et que vaut une prédiction ?

Le $15$ novembre $2022$ , l'Organisation des nations unies a annoncé que la population mondiale venait de franchir le seuil de huit milliards d'êtres humains. Cette date n'est évidemment pas exacte au jour près : personne ne compte les naissances en temps réel sur toute la planète. C'est le résultat d'un modèle, c'est-à-dire d'une construction mathématique qui prolonge et complète des données incomplètes.

Ce chapitre porte sur cette construction. Il ne s'agit pas d'apprendre combien nous serons — aucune formule ne le dira jamais avec certitude — mais de comprendre comment un scientifique choisit un modèle, comment il détermine ses paramètres, comment il vérifie s'il fonctionne, et surtout comment il reconnaît le moment où il cesse de fonctionner. Le programme le dit en une phrase que ce chapitre va déplier : « la démarche de modélisation comporte notamment le choix d'un modèle et le contrôle de sa validité ».

L'enjeu est réel. De la prévision démographique dépendent le nombre de classes d'école à construire, le financement des retraites, l'estimation des besoins alimentaires et énergétiques, l'évaluation des émissions futures de gaz à effet de serre. Un modèle démographique n'est pas un exercice : c'est un instrument de décision publique, et un instrument dont on doit connaître la précision.

Nous suivrons quatre étapes.

Regarder les données avant de choisir. Deux calculs très simples — la variation absolue et la variation relative — suffisent à départager les deux modèles élémentaires : le modèle linéaire et le modèle exponentiel.
Faire tourner le modèle. Prédire un effectif au bout de $n$ années, calculer un temps de doublement : ce sont des gestes de calcul, et ils s'apprennent.
Tester le modèle. Nous appliquerons le modèle de Malthus à la population mondiale à partir de $1970$ , puis nous comparerons sa prédiction à ce qui s'est réellement passé. L'écart est instructif.
Comprendre pourquoi il échoue. Un modèle échoue toujours pour une raison précise : ici, parce qu'il ignore les ressources, et parce qu'il ignore l'âge des gens. Nous verrons deux façons de le corriger.

iRemarqueUn chapitre de mathématiques appliquées

Vous allez utiliser ici des suites arithmétiques et géométriques, des lectures graphiques, des pourcentages, des équations et des inéquations. Ces outils ont été travaillés en classe de première dans le module de mathématiques de l'enseignement scientifique ; ils sont rappelés au fur et à mesure, et aucun prérequis de spécialité n'est nécessaire. Les renvois sont signalés par le symbole $\leftrightarrow$ , comme dans le programme officiel.

Un mot sur les chiffres. Toutes les données démographiques mondiales de ce chapitre sont arrondies au dixième de milliard et proviennent des estimations de l'Organisation des nations unies. Un effectif de population n'est jamais connu exactement : les recensements ont des marges d'erreur, certains pays n'en conduisent pas régulièrement, et les estimations sont révisées. Écrire « $7, 8$ milliards » plutôt que « $7840952000$ » n'est pas de la paresse : c'est de l'honnêteté.

10.2 Regarder les données avant de choisir un modèle

10.2.1 Deux façons de mesurer un changement

Une population passe de $5, 3$ à $6, 1$ milliards en dix ans. Comment décrire ce changement ? Il y a deux réponses, et elles ne disent pas la même chose.

Définition 10.1Variation absolue, variation relative

Une grandeur passe d'une valeur $V_{1}$ à une valeur $V_{2}$ .

La variation absolue est la différence $V_{2} - V_{1}$ . Elle s'exprime dans l'unité de la grandeur : des habitants, des tonnes, des degrés.
La variation relative, ou taux d'évolution, est le quotient $t = \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{1}} .$ C'est un nombre sans unité, que l'on exprime généralement en pourcentage.

Rapportées à une durée, elles donnent la variation absolue par unité de temps et la variation relative par unité de temps.

Exemple 10.2Le même changement, deux nombres

De $5, 3$ à $6, 1$ milliards : variation absolue $= 6, 1 - 5, 3 = 0, 8$ milliard, soit $800$ millions d'habitants de plus. Variation relative $= \frac{0 , 8}{5 , 3} \approx 0, 151$ , soit $+ 15, 1 %$ . Sur dix ans, cela fait $80$ millions d'habitants par an, ou environ $1, 4 %$ par an.

Les deux nombres sont exacts. Le premier dit combien de personnes se sont ajoutées, le second dit à quel rythme, relativement à ce qui existait déjà.

iRemarqueLe piège du « plus grand pourcentage »

Un pays de $10$ millions d'habitants qui croît de $3 %$ par an gagne $300000$ habitants ; un pays de $1, 4$ milliard qui croît de $0, 3 %$ par an en gagne $4, 2$ millions, soit quatorze fois plus, avec un taux dix fois plus faible. Un pourcentage ne se compare qu'à effectif comparable. C'est l'une des confusions les plus fréquentes dans les débats publics sur la démographie.

10.2.2 Le critère de choix entre les deux modèles

Voici l'idée centrale, et elle est simple. Si c'est la variation absolue qui reste constante, la grandeur augmente toujours de la même quantité : le nuage de points s'aligne sur une droite. Si c'est la variation relative qui reste constante, la grandeur est multipliée à chaque pas par le même nombre : le nuage s'incurve vers le haut.

Proposition 10.3Deux modèles élémentaires d'évolution d'une population

L'évolution d'une population dont la variation absolue par unité de temps est presque constante est représentée par un nuage de points évoquant une droite. Cette évolution peut être modélisée par une suite arithmétique (modèle dit linéaire).

L'évolution d'une population dont la variation relative par unité de temps (encore appelée taux d'évolution) est presque constante est représentée par un nuage de points évoquant la courbe d'une exponentielle. Cette évolution peut être modélisée par une suite géométrique (modèle dit exponentiel).

Le mot décisif est presque. Aucune population réelle n'a une variation exactement constante ; on cherche laquelle des deux l'est le moins mal.

Méthode : Choisir entre un modèle linéaire et un modèle exponentiel

À partir d'un tableau de données démographiques :

Vérifier que les pas de temps sont réguliers. Si les dates sont espacées irrégulièrement, ramener toutes les variations à la même unité de temps avant de comparer quoi que ce soit.
Calculer la suite des variations absolues $V_{k + 1} - V_{k}$ .
Calculer la suite des variations relatives $\frac{V _{k + 1} - V _{k}}{V _{k}}$ , en pourcentage.
Comparer la régularité des deux suites. Celle qui varie le moins désigne le modèle. On peut chiffrer : calculer, pour chaque suite, l'écart entre sa plus grande et sa plus petite valeur, rapporté à sa moyenne.
Tracer le nuage pour confirmer visuellement : alignement sur une droite, ou courbure vers le haut.
Conclure en nommant le modèle et son paramètre : « modèle linéaire, de raison $+ 0, 8$ milliard par décennie » ou « modèle exponentiel, de raison $1, 21$ par décennie ».

Attention : le choix peut dépendre de la période retenue. Une même population peut relever du modèle exponentiel sur trente ans et du modèle linéaire sur les trente années suivantes — nous allons en voir un exemple majeur.

$\leftrightarrow$ Variations absolues et relatives, pourcentages, organisation et exploitation de données.

10.2.3 Le cas de la population mondiale

Année	$1950$	$1960$	$1970$	$1980$	$1990$	$2000$	$2010$	$2020$
Population (milliards)	$2, 5$	$3, 0$	$3, 7$	$4, 5$	$5, 3$	$6, 1$	$7, 0$	$7, 8$
Variation absolue	---	$+ 0, 5$	$+ 0, 7$	$+ 0, 8$	$+ 0, 8$	$+ 0, 8$	$+ 0, 9$	$+ 0, 8$
Variation relative	---	$+ 20, 0 %$	$+ 23, 3 %$	$+ 21, 6 %$	$+ 17, 8 %$	$+ 15, 1 %$	$+ 14, 8 %$	$+ 11, 4 %$

Population mondiale, estimations de l'Organisation des nations unies, arrondies au dixième de milliard. Les variations sont calculées d'une décennie à la suivante.

Les deux calculs de la méthode, sur la population mondiale.

À gauche, la variation absolue par décennie : elle se stabilise vers $+ 0, 8$ milliard à partir de $1970$ . À droite, la variation relative : elle est à peu près constante autour de $21 %$ jusqu'en $1980$ , puis décroît régulièrement. Le modèle exponentiel convient donc à la première période, le

modèle linéaire à la seconde.

Exemple 10.4Une conclusion qui surprend

Lisons le tableau et la figure. Entre $1950$ et $1980$ , la variation relative reste comprise entre $20$ et $23 %$ par décennie tandis que la variation absolue augmente de $0, 5$ à $0, 8$ : c'est le modèle exponentiel qui convient. Entre $1980$ et $2020$ , c'est l'inverse : la variation absolue reste bloquée autour de $+ 0, 8$ milliard par décennie tandis que la variation relative tombe de $21, 6$ à $11, 4 %$ : c'est le modèle linéaire qui convient.

Autrement dit, la population mondiale a cessé de croître exponentiellement il y a environ quarante ans. Elle continue d'augmenter, et fortement — quelque $80$ millions de personnes par an — mais son rythme relatif diminue depuis les années $1960$ . L'expression « explosion démographique », qui décrit bien la période $1950$ - $1980$ , ne décrit plus la période actuelle. Voilà un exemple de ce qu'apporte un calcul de deux lignes contre une impression générale.

10.3 Le modèle linéaire : la suite arithmétique

Définition 10.5Suite arithmétique

Une suite de nombres $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ lorsque l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ : $u_{n + 1} = u_{n} + r .$ On en déduit la formule explicite, qui donne directement le terme de rang $n$ à partir du premier : $u_{n} = u_{0} + n r .$ Représentés graphiquement, les points $(n; u_{n})$ sont alignés : le modèle est dit linéaire.

Méthode : Utiliser un modèle linéaire

Identifier $u_{0}$ , l'effectif à la date choisie comme origine, et préciser cette date. C'est la source d'erreur numéro un : $u_{5}$ pour une origine en $1980$ n'est pas $u_{5}$ pour une origine en $1990$ .
Calculer la raison $r$ comme la variation absolue moyenne par unité de temps : si l'on connaît $u_{0}$ et $u_{p}$ , alors $r = \frac{u _{p} - u _{0}}{p}$ .
Prédire avec $u_{n} = u_{0} + n r$ .
Répondre à une question inverse — « en quelle année atteindra-t-on la valeur $S$ ? » — en résolvant l'équation $u_{0} + n r = S$ , soit $n = \frac{S - u _{0}}{r}$ , puis en arrondissant à l'entier supérieur.
Vérifier la vraisemblance : une population ne peut pas devenir négative, ce que le modèle linéaire finit toujours par prédire quand $r < 0$ .

$\leftrightarrow$ Suites arithmétiques, résolution d'équations et d'inéquations du premier degré.

Exemple 10.6La population mondiale de

1980

2020

On prend l'année $1980$ pour origine et la décennie pour unité de temps. Alors $u_{0} = 4, 5$ et, comme $u_{4} = 7, 8$ : $r = \frac{7 , 8 - 4 , 5}{4} = \frac{3 , 3}{4} = 0, 825 milliard par d e ˊ cennie .$ Le modèle prédit donc $u_{n} = 4, 5 + 0, 825 n$ . Comparons :

Année	$1980$	$1990$	$2000$	$2010$	$2020$
Modèle	$4, 50$	$5, 33$	$6, 15$	$6, 98$	$7, 80$
Réel	$4, 5$	$5, 3$	$6, 1$	$7, 0$	$7, 8$
Écart	$0$	$+ 0, 03$	$+ 0, 05$	$- 0, 02$	$0$

L'écart maximal vaut $0, 05$ milliard sur des effectifs de l'ordre de six milliards, soit moins de $1 %$ . Sur cette période, le modèle linéaire est excellent.

10.4 Le modèle exponentiel : la suite géométrique

Définition 10.7Suite géométrique

Une suite de nombres $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ lorsque l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ : $u_{n + 1} = q \times u_{n} .$ La formule explicite est $u_{n} = u_{0} \times q^{n} .$ Représentés graphiquement, les points $(n; u_{n})$ dessinent, lorsque $q > 1$ , une courbe qui monte de plus en plus vite : c'est l'allure d'une exponentielle, d'où le nom du modèle.

iRemarqueDu taux à la raison, et retour

C'est le geste de calcul le plus utile de tout le chapitre. Si une grandeur augmente de $t$ par unité de temps (avec $t$ exprimé en nombre, pas en pourcentage), alors $q = 1 + t .$ Une hausse de $2 %$ correspond à $q = 1, 02$ ; une baisse de $2 %$ correspond à $t = - 0, 02$ , donc $q = 0, 98$ .

Deux erreurs classiques. Première : croire qu'une hausse de $2 %$ pendant dix ans fait $+ 20 %$ . En réalité $1, 0 2^{10} \approx 1, 219$ , soit $+ 21, 9 %$ : les augmentations se composent. Deuxième : croire qu'une hausse de $20 %$ suivie d'une baisse de $20 %$ ramène au point de départ. En réalité $1, 20 \times 0, 80 = 0, 96$ : il manque $4 %$ .

Méthode : Utiliser un modèle exponentiel

Identifier $u_{0}$ et la date d'origine.
Déterminer la raison $q$ . Soit on connaît le taux $t$ par unité de temps, et $q = 1 + t$ ; soit on connaît deux valeurs séparées de $p$ pas, et $q = (\frac{u _{p}}{u _{0}})^{1/ p}$ , c'est-à-dire la racine $p$ -ième du quotient — calculable directement à la calculatrice.
Prédire avec $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ .
Répondre à une question inverse en tabulant : on calcule $u_{0} q$ , $u_{0} q^{2}$ , $u_{0} q^{3}$ … jusqu'à dépasser le seuil cherché. C'est la méthode attendue ; elle ne demande aucune fonction nouvelle.
Contrôler par un ordre de grandeur. Multiplier par $q$ chaque année pendant $n$ années multiplie au total par $q^{n}$ , un nombre qui grandit très vite : $1, 0 2^{35} \approx 2$ , $1, 0 2^{70} \approx 4$ .

$\leftrightarrow$ Suites géométriques, puissances, pourcentages, résolution d'inéquations par tabulation.

Exemple 10.8La population mondiale de

1950

1980

Origine en $1950$ , unité la décennie : $u_{0} = 2, 5$ et $u_{3} = 4, 5$ . Donc $q = (\frac{4 , 5}{2 , 5})^{1/3} = 1, 8^{1/3} \approx 1, 216,$ soit une croissance d'environ $21, 6 %$ par décennie, c'est-à-dire environ $1, 97 %$ par an puisque $1, 019 7^{10} \approx 1, 216$ . Le modèle donne $u_{1} = 2, 5 \times 1, 216 \approx 3, 04$ (réel : $3, 0$ ) et $u_{2} \approx 3, 70$ (réel : $3, 7$ ). Sur cette période, l'ajustement est remarquable.

Exercices du chapitre

Linéaire ou exponentiel ? corrigé
Le modèle de Malthus appliqué corrigé
Une population qui s'éteint corrigé
Tester Malthus sur la population mondiale corrigé
Le blé et les bouches corrigé
Interpoler et extrapoler corrigé

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