Les modèles démographiques

Cours complet · enseignement scientifique (terminale), chapitre 10 · terminale, enseignement scientifique

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10.1 Introduction : combien serons-nous, et que vaut une prédiction ?

Le $15$ novembre $2022$ , l'Organisation des nations unies a annoncé que la population mondiale venait de franchir le seuil de huit milliards d'êtres humains. Cette date n'est évidemment pas exacte au jour près : personne ne compte les naissances en temps réel sur toute la planète. C'est le résultat d'un modèle, c'est-à-dire d'une construction mathématique qui prolonge et complète des données incomplètes.

Ce chapitre porte sur cette construction. Il ne s'agit pas d'apprendre combien nous serons — aucune formule ne le dira jamais avec certitude — mais de comprendre comment un scientifique choisit un modèle, comment il détermine ses paramètres, comment il vérifie s'il fonctionne, et surtout comment il reconnaît le moment où il cesse de fonctionner. Le programme le dit en une phrase que ce chapitre va déplier : « la démarche de modélisation comporte notamment le choix d'un modèle et le contrôle de sa validité ».

L'enjeu est réel. De la prévision démographique dépendent le nombre de classes d'école à construire, le financement des retraites, l'estimation des besoins alimentaires et énergétiques, l'évaluation des émissions futures de gaz à effet de serre. Un modèle démographique n'est pas un exercice : c'est un instrument de décision publique, et un instrument dont on doit connaître la précision.

Nous suivrons quatre étapes.

Regarder les données avant de choisir. Deux calculs très simples — la variation absolue et la variation relative — suffisent à départager les deux modèles élémentaires : le modèle linéaire et le modèle exponentiel.
Faire tourner le modèle. Prédire un effectif au bout de $n$ années, calculer un temps de doublement : ce sont des gestes de calcul, et ils s'apprennent.
Tester le modèle. Nous appliquerons le modèle de Malthus à la population mondiale à partir de $1970$ , puis nous comparerons sa prédiction à ce qui s'est réellement passé. L'écart est instructif.
Comprendre pourquoi il échoue. Un modèle échoue toujours pour une raison précise : ici, parce qu'il ignore les ressources, et parce qu'il ignore l'âge des gens. Nous verrons deux façons de le corriger.

iRemarqueUn chapitre de mathématiques appliquées

Vous allez utiliser ici des suites arithmétiques et géométriques, des lectures graphiques, des pourcentages, des équations et des inéquations. Ces outils ont été travaillés en classe de première dans le module de mathématiques de l'enseignement scientifique ; ils sont rappelés au fur et à mesure, et aucun prérequis de spécialité n'est nécessaire. Les renvois sont signalés par le symbole $\leftrightarrow$ , comme dans le programme officiel.

Un mot sur les chiffres. Toutes les données démographiques mondiales de ce chapitre sont arrondies au dixième de milliard et proviennent des estimations de l'Organisation des nations unies. Un effectif de population n'est jamais connu exactement : les recensements ont des marges d'erreur, certains pays n'en conduisent pas régulièrement, et les estimations sont révisées. Écrire « $7, 8$ milliards » plutôt que « $7840952000$ » n'est pas de la paresse : c'est de l'honnêteté.

10.2 Regarder les données avant de choisir un modèle

10.2.1 Deux façons de mesurer un changement

Une population passe de $5, 3$ à $6, 1$ milliards en dix ans. Comment décrire ce changement ? Il y a deux réponses, et elles ne disent pas la même chose.

Définition 10.1Variation absolue, variation relative

Une grandeur passe d'une valeur $V_{1}$ à une valeur $V_{2}$ .

La variation absolue est la différence $V_{2} - V_{1}$ . Elle s'exprime dans l'unité de la grandeur : des habitants, des tonnes, des degrés.
La variation relative, ou taux d'évolution, est le quotient $t = \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{1}} .$ C'est un nombre sans unité, que l'on exprime généralement en pourcentage.

Rapportées à une durée, elles donnent la variation absolue par unité de temps et la variation relative par unité de temps.

Exemple 10.2Le même changement, deux nombres

De $5, 3$ à $6, 1$ milliards : variation absolue $= 6, 1 - 5, 3 = 0, 8$ milliard, soit $800$ millions d'habitants de plus. Variation relative $= \frac{0 , 8}{5 , 3} \approx 0, 151$ , soit $+ 15, 1 %$ . Sur dix ans, cela fait $80$ millions d'habitants par an, ou environ $1, 4 %$ par an.

Les deux nombres sont exacts. Le premier dit combien de personnes se sont ajoutées, le second dit à quel rythme, relativement à ce qui existait déjà.

iRemarqueLe piège du « plus grand pourcentage »

Un pays de $10$ millions d'habitants qui croît de $3 %$ par an gagne $300000$ habitants ; un pays de $1, 4$ milliard qui croît de $0, 3 %$ par an en gagne $4, 2$ millions, soit quatorze fois plus, avec un taux dix fois plus faible. Un pourcentage ne se compare qu'à effectif comparable. C'est l'une des confusions les plus fréquentes dans les débats publics sur la démographie.

10.2.2 Le critère de choix entre les deux modèles

Voici l'idée centrale, et elle est simple. Si c'est la variation absolue qui reste constante, la grandeur augmente toujours de la même quantité : le nuage de points s'aligne sur une droite. Si c'est la variation relative qui reste constante, la grandeur est multipliée à chaque pas par le même nombre : le nuage s'incurve vers le haut.

Proposition 10.3Deux modèles élémentaires d'évolution d'une population

L'évolution d'une population dont la variation absolue par unité de temps est presque constante est représentée par un nuage de points évoquant une droite. Cette évolution peut être modélisée par une suite arithmétique (modèle dit linéaire).

L'évolution d'une population dont la variation relative par unité de temps (encore appelée taux d'évolution) est presque constante est représentée par un nuage de points évoquant la courbe d'une exponentielle. Cette évolution peut être modélisée par une suite géométrique (modèle dit exponentiel).

Le mot décisif est presque. Aucune population réelle n'a une variation exactement constante ; on cherche laquelle des deux l'est le moins mal.

Méthode : Choisir entre un modèle linéaire et un modèle exponentiel

À partir d'un tableau de données démographiques :

Vérifier que les pas de temps sont réguliers. Si les dates sont espacées irrégulièrement, ramener toutes les variations à la même unité de temps avant de comparer quoi que ce soit.
Calculer la suite des variations absolues $V_{k + 1} - V_{k}$ .
Calculer la suite des variations relatives $\frac{V _{k + 1} - V _{k}}{V _{k}}$ , en pourcentage.
Comparer la régularité des deux suites. Celle qui varie le moins désigne le modèle. On peut chiffrer : calculer, pour chaque suite, l'écart entre sa plus grande et sa plus petite valeur, rapporté à sa moyenne.
Tracer le nuage pour confirmer visuellement : alignement sur une droite, ou courbure vers le haut.
Conclure en nommant le modèle et son paramètre : « modèle linéaire, de raison $+ 0, 8$ milliard par décennie » ou « modèle exponentiel, de raison $1, 21$ par décennie ».

Attention : le choix peut dépendre de la période retenue. Une même population peut relever du modèle exponentiel sur trente ans et du modèle linéaire sur les trente années suivantes — nous allons en voir un exemple majeur.

$\leftrightarrow$ Variations absolues et relatives, pourcentages, organisation et exploitation de données.

10.2.3 Le cas de la population mondiale

Année	$1950$	$1960$	$1970$	$1980$	$1990$	$2000$	$2010$	$2020$
Population (milliards)	$2, 5$	$3, 0$	$3, 7$	$4, 5$	$5, 3$	$6, 1$	$7, 0$	$7, 8$
Variation absolue	---	$+ 0, 5$	$+ 0, 7$	$+ 0, 8$	$+ 0, 8$	$+ 0, 8$	$+ 0, 9$	$+ 0, 8$
Variation relative	---	$+ 20, 0 %$	$+ 23, 3 %$	$+ 21, 6 %$	$+ 17, 8 %$	$+ 15, 1 %$	$+ 14, 8 %$	$+ 11, 4 %$

Population mondiale, estimations de l'Organisation des nations unies, arrondies au dixième de milliard. Les variations sont calculées d'une décennie à la suivante.

Les deux calculs de la méthode, sur la population mondiale.

À gauche, la variation absolue par décennie : elle se stabilise vers $+ 0, 8$ milliard à partir de $1970$ . À droite, la variation relative : elle est à peu près constante autour de $21 %$ jusqu'en $1980$ , puis décroît régulièrement. Le modèle exponentiel convient donc à la première période, le modèle linéaire à la seconde.</div>

Exemple 10.4Une conclusion qui surprend

Lisons le tableau et la figure. Entre $1950$ et $1980$ , la variation relative reste comprise entre $20$ et $23 %$ par décennie tandis que la variation absolue augmente de $0, 5$ à $0, 8$ : c'est le modèle exponentiel qui convient. Entre $1980$ et $2020$ , c'est l'inverse : la variation absolue reste bloquée autour de $+ 0, 8$ milliard par décennie tandis que la variation relative tombe de $21, 6$ à $11, 4 %$ : c'est le modèle linéaire qui convient.

Autrement dit, la population mondiale a cessé de croître exponentiellement il y a environ quarante ans. Elle continue d'augmenter, et fortement — quelque $80$ millions de personnes par an — mais son rythme relatif diminue depuis les années $1960$ . L'expression « explosion démographique », qui décrit bien la période $1950$ - $1980$ , ne décrit plus la période actuelle. Voilà un exemple de ce qu'apporte un calcul de deux lignes contre une impression générale.

10.3 Le modèle linéaire : la suite arithmétique

Définition 10.5Suite arithmétique

Une suite de nombres $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ lorsque l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ : $u_{n + 1} = u_{n} + r .$ On en déduit la formule explicite, qui donne directement le terme de rang $n$ à partir du premier : $u_{n} = u_{0} + n r .$ Représentés graphiquement, les points $(n; u_{n})$ sont alignés : le modèle est dit linéaire.

Méthode : Utiliser un modèle linéaire

Identifier $u_{0}$ , l'effectif à la date choisie comme origine, et préciser cette date. C'est la source d'erreur numéro un : $u_{5}$ pour une origine en $1980$ n'est pas $u_{5}$ pour une origine en $1990$ .
Calculer la raison $r$ comme la variation absolue moyenne par unité de temps : si l'on connaît $u_{0}$ et $u_{p}$ , alors $r = \frac{u _{p} - u _{0}}{p}$ .
Prédire avec $u_{n} = u_{0} + n r$ .
Répondre à une question inverse — « en quelle année atteindra-t-on la valeur $S$ ? » — en résolvant l'équation $u_{0} + n r = S$ , soit $n = \frac{S - u _{0}}{r}$ , puis en arrondissant à l'entier supérieur.
Vérifier la vraisemblance : une population ne peut pas devenir négative, ce que le modèle linéaire finit toujours par prédire quand $r < 0$ .

$\leftrightarrow$ Suites arithmétiques, résolution d'équations et d'inéquations du premier degré.

Exemple 10.6La population mondiale de

1980

2020

On prend l'année $1980$ pour origine et la décennie pour unité de temps. Alors $u_{0} = 4, 5$ et, comme $u_{4} = 7, 8$ : $r = \frac{7 , 8 - 4 , 5}{4} = \frac{3 , 3}{4} = 0, 825 milliard par d e ˊ cennie .$ Le modèle prédit donc $u_{n} = 4, 5 + 0, 825 n$ . Comparons :

Année	$1980$	$1990$	$2000$	$2010$	$2020$
Modèle	$4, 50$	$5, 33$	$6, 15$	$6, 98$	$7, 80$
Réel	$4, 5$	$5, 3$	$6, 1$	$7, 0$	$7, 8$
Écart	$0$	$+ 0, 03$	$+ 0, 05$	$- 0, 02$	$0$

L'écart maximal vaut $0, 05$ milliard sur des effectifs de l'ordre de six milliards, soit moins de $1 %$ . Sur cette période, le modèle linéaire est excellent.

10.4 Le modèle exponentiel : la suite géométrique

Définition 10.7Suite géométrique

Une suite de nombres $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ lorsque l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ : $u_{n + 1} = q \times u_{n} .$ La formule explicite est $u_{n} = u_{0} \times q^{n} .$ Représentés graphiquement, les points $(n; u_{n})$ dessinent, lorsque $q > 1$ , une courbe qui monte de plus en plus vite : c'est l'allure d'une exponentielle, d'où le nom du modèle.

iRemarqueDu taux à la raison, et retour

C'est le geste de calcul le plus utile de tout le chapitre. Si une grandeur augmente de $t$ par unité de temps (avec $t$ exprimé en nombre, pas en pourcentage), alors $q = 1 + t .$ Une hausse de $2 %$ correspond à $q = 1, 02$ ; une baisse de $2 %$ correspond à $t = - 0, 02$ , donc $q = 0, 98$ .

Deux erreurs classiques. Première : croire qu'une hausse de $2 %$ pendant dix ans fait $+ 20 %$ . En réalité $1, 0 2^{10} \approx 1, 219$ , soit $+ 21, 9 %$ : les augmentations se composent. Deuxième : croire qu'une hausse de $20 %$ suivie d'une baisse de $20 %$ ramène au point de départ. En réalité $1, 20 \times 0, 80 = 0, 96$ : il manque $4 %$ .

Méthode : Utiliser un modèle exponentiel

Identifier $u_{0}$ et la date d'origine.
Déterminer la raison $q$ . Soit on connaît le taux $t$ par unité de temps, et $q = 1 + t$ ; soit on connaît deux valeurs séparées de $p$ pas, et $q = (\frac{u _{p}}{u _{0}})^{1/ p}$ , c'est-à-dire la racine $p$ -ième du quotient — calculable directement à la calculatrice.
Prédire avec $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ .
Répondre à une question inverse en tabulant : on calcule $u_{0} q$ , $u_{0} q^{2}$ , $u_{0} q^{3}$ … jusqu'à dépasser le seuil cherché. C'est la méthode attendue ; elle ne demande aucune fonction nouvelle.
Contrôler par un ordre de grandeur. Multiplier par $q$ chaque année pendant $n$ années multiplie au total par $q^{n}$ , un nombre qui grandit très vite : $1, 0 2^{35} \approx 2$ , $1, 0 2^{70} \approx 4$ .

$\leftrightarrow$ Suites géométriques, puissances, pourcentages, résolution d'inéquations par tabulation.

Exemple 10.8La population mondiale de

1950

1980

Origine en $1950$ , unité la décennie : $u_{0} = 2, 5$ et $u_{3} = 4, 5$ . Donc $q = (\frac{4 , 5}{2 , 5})^{1/3} = 1, 8^{1/3} \approx 1, 216,$ soit une croissance d'environ $21, 6 %$ par décennie, c'est-à-dire environ $1, 97 %$ par an puisque $1, 019 7^{10} \approx 1, 216$ . Le modèle donne $u_{1} = 2, 5 \times 1, 216 \approx 3, 04$ (réel : $3, 0$ ) et $u_{2} \approx 3, 70$ (réel : $3, 7$ ). Sur cette période, l'ajustement est remarquable.

10.5 Le modèle de Malthus

10.5.1 Une idée de $1798$

En $1798$ , un pasteur et économiste anglais, Thomas Robert Malthus, publie anonymement un Essai sur le principe de population. Son raisonnement tient en deux propositions. Première : une population qui n'est freinée par rien croît de façon géométrique, parce que chaque génération engendre la suivante en proportion de son propre effectif. Seconde : les subsistances, elles, ne peuvent croître qu'arithmétiquement, parce que la surface cultivable est limitée et que les rendements progressent lentement. Une suite géométrique finissant toujours par dépasser une suite arithmétique, la population doit inévitablement se heurter au manque de nourriture.

La partie mathématique de ce raisonnement est exacte, et elle est au programme. La partie économique est contestable, et l'histoire l'a contestée : nous y reviendrons.

◆Théorème 10.9Le modèle démographique de Malthus

On note $P_{0}$ l'effectif initial d'une population, $τ_{n}$ son taux de natalité annuel et $τ_{m}$ son taux de mortalité annuel (nombre de naissances, respectivement de décès, rapporté à l'effectif total sur une année). Le modèle suppose ces deux taux constants et la population fermée : ni immigration, ni émigration. Alors, d'une année à la suivante, $P_{k + 1} = P_{k} + τ_{n} P_{k} - τ_{m} P_{k} = P_{k} (1 + τ_{n} - τ_{m}),$ et donc, au bout de $n$ années, $P_{n} = P_{0} (1 + τ_{n} - τ_{m})^{n} .$ La suite $(P_{n})$ est géométrique de raison $q = 1 + τ_{n} - τ_{m}$ : le modèle de Malthus est donc un modèle exponentiel.

Définition 10.10Taux d'accroissement naturel

La différence $τ_{n} - τ_{m}$ s'appelle le taux d'accroissement naturel de la population. C'est lui, et lui seul, qui gouverne le modèle : deux populations dont l'une aurait une natalité et une mortalité fortes et l'autre les deux faibles, mais avec le même écart, suivraient exactement la même trajectoire. Les taux démographiques s'expriment habituellement pour mille : une natalité de $28$ pour mille signifie $τ_{n} = 0, 028$ .

Proposition 10.11Les trois comportements du modèle de Malthus

Le modèle démographique de Malthus est un modèle exponentiel d'évolution de l'effectif de la population. Il prévoit que l'effectif de la population décroît vers $0$ si le taux de mortalité est supérieur au taux de natalité, et croît vers l'infini si le taux de natalité est supérieur au taux de mortalité.

Trois cas, selon le signe de $τ_{n} - τ_{m}$ :

$τ_{n} > τ_{m}$ : $q > 1$ , la population croît sans limite ;
$τ_{n} = τ_{m}$ : $q = 1$ , la population reste constante ;
$τ_{n} < τ_{m}$ : $q < 1$ , la population décroît et tend vers zéro.

Aucun autre comportement n'est possible. C'est à la fois la force et la faiblesse du modèle : il est parfaitement clair, et il ne connaît que trois destins.

Les trois trajectoires possibles du modèle de Malthus, à

partir d'un même effectif initial. La courbe du haut monte de plus en plus vite : c'est la signature d'une suite géométrique de raison supérieure à $1$ . La courbe du bas descend de moins en moins vite et s'approche de zéro sans jamais l'atteindre.</div>

Méthode : Prédire un effectif avec le modèle de Malthus

Convertir les taux. Ils sont presque toujours donnés pour mille : diviser par $1000$ .
Calculer le taux d'accroissement naturel $t = τ_{n} - τ_{m}$ , puis la raison $q = 1 + t$ .
Appliquer $P_{n} = P_{0} \times q^{n}$ , avec $n$ en années — attention à l'unité de temps si les taux sont annuels et la question posée en décennies.
Arrondir raisonnablement. Un effectif est un entier, mais donner huit chiffres significatifs à une prédiction démographique serait absurde : garder deux ou trois chiffres.
Énoncer les hypothèses avec le résultat. La bonne formulation est : « si les taux restaient constants et si les migrations étaient nulles, alors la population atteindrait tel effectif en telle année ». Un résultat de modèle n'est jamais une prophétie.

$\leftrightarrow$ Suites géométriques, pourcentages, puissances.

Exemple 10.12Une application chiffrée

Une population compte $P_{0} = 12$ millions d'habitants. Sa natalité est de $32$ pour mille, sa mortalité de $9$ pour mille.

Taux d'accroissement naturel : $t = 0, 032 - 0, 009 = 0, 023$ , soit $2, 3 %$ par an. Raison : $q = 1, 023$ .

Au bout de $10$ ans : $P_{10} = 12 \times 1, 02 3^{10} \approx 12 \times 1, 2551 \approx 15, 1$ millions.

Au bout de $30$ ans : $P_{30} = 12 \times 1, 02 3^{30} \approx 12 \times 1, 9769 \approx 23, 7$ millions — presque le double.

Au bout de $100$ ans : $P_{100} = 12 \times 1, 02 3^{100} \approx 12 \times 9, 72 \approx 117$ millions. Le modèle prédit un effectif multiplié par près de dix en un siècle. C'est ce résultat, et son caractère intenable, qui fondait l'inquiétude de Malthus.

10.6 Le temps de doublement

Définition 10.13Temps de doublement

Le temps de doublement d'une population en croissance exponentielle est la durée $T$ au bout de laquelle son effectif a été multiplié par deux. C'est donc le plus petit entier $n$ tel que $q^{n} ⩾ 2, c’est- a ˋ -dire (1 + t)^{n} ⩾ 2.$ Propriété remarquable : ce temps ne dépend pas de l'effectif initial. Une population de mille habitants et une population d'un milliard, avec le même taux, doublent en autant d'années.

Méthode : Calculer un temps de doublement

Trois voies, toutes acceptables.

Par tabulation, à la calculatrice ou au tableur : on calcule $q^{1}, q^{2}, q^{3}, \dots$ jusqu'à atteindre $2$ . C'est la méthode de référence. Au tableur : écrire l'effectif initial en B2, la formule =B2*(1+\D\1) en B3, puis recopier vers le bas et lire la ligne où la colonne dépasse le double.
Graphiquement : tracer la courbe de l'effectif, repérer sur l'axe vertical le double de l'effectif initial, redescendre sur l'axe des temps. Toujours vérifier la lecture sur un second doublement — de $P_{0}$ à $2 P_{0}$ , puis de $2 P_{0}$ à $4 P_{0}$ : les deux durées doivent être égales.
Par la règle des $70$ : pour un taux $t$ exprimé en pourcentage et pas trop grand, $T \approx \frac{70}{t} .$ C'est une approximation, à réserver aux estimations rapides ; elle est excellente jusqu'à $5 %$ environ.

$\leftrightarrow$ Résolution d'inéquations par tabulation, lectures graphiques.

Temps de doublement en fonction du taux de croissance annuel.

La courbe exacte et la règle des $70$ sont pratiquement confondues sur tout l'intervalle utile. Retenir les deux repères marqués : $1 %$ par an double en $70$ ans, $2 %$ par an en $35$ ans. Diviser le taux par deux double la durée : la relation est de proportionnalité inverse.</div>

Exemple 10.14Deux calculs de temps de doublement

Par tabulation, pour $t = 2, 3 %$ , donc $q = 1, 023$ : $1, 02 3^{10} \approx 1, 2551, 02 3^{20} \approx 1, 5751, 02 3^{30} \approx 1, 9771, 02 3^{31} \approx 2, 022.$ Le seuil $2$ est franchi au rang $31$ : le temps de doublement vaut $31$ ans.

Par la règle des $70$ : $\frac{70}{2 , 3} \approx 30, 4$ , donc environ $30$ ans. Les deux résultats concordent, et l'écart d'une année rappelle que la règle est une approximation.

iRemarqueLa règle des

70

n'est pas magique

Elle vient du calcul exact $T = \frac{ln 2}{ln ( 1 + t )}$ , avec $ln 2 \approx 0, 693$ , et de l'approximation $ln (1 + t) \approx t$ valable quand $t$ est petit. On obtient $T \approx \frac{0 , 693}{t}$ , soit $\frac{69 , 3}{t}$ si $t$ est en pourcentage — arrondi à $70$ parce que $70$ se divise agréablement par $2$ , $5$ , $7$ et $10$ . La fonction logarithme n'est pas au programme de cet enseignement : la règle est donnée ici pour l'estimation rapide, la tabulation reste la méthode exigible.

10.7 Tester le modèle : le confronter aux données

10.7.1 L'étape la plus importante de la modélisation

Un modèle qui prédit n'importe quoi n'est d'aucune utilité. Un modèle qui prédit quelque chose peut être confronté aux faits. C'est cette confrontation, et elle seule, qui décide de la valeur d'un modèle — et qui, le cas échéant, en délimite le domaine de validité.

Méthode : Comparer les valeurs d'un modèle à des données réelles

Choisir la période de calage. On détermine les paramètres du modèle sur une partie des données seulement.
Prédire sur la période restante, celle qui n'a pas servi au calage. C'est la règle d'or : un modèle ajusté sur des données puis testé sur les mêmes données ne prouve rien.
Calculer les écarts, en valeur absolue et en valeur relative : $\frac{∣ mod e ˋ le - r e ˊ el ∣}{r e ˊ el}$ . Un écart de $0, 5$ milliard n'a pas le même sens sur une population de $1$ ou de $8$ milliards.
Repérer où l'écart change de comportement. S'il reste petit puis grandit brusquement, c'est là que le modèle cesse d'être valide, et cette date est une information scientifique.
Conclure en trois temps : le modèle convient sur telle période, il diverge à partir de telle date, et voici le mécanisme réel qu'il ignore.

$\leftrightarrow$ Pourcentages, variations relatives, lectures graphiques.

Le test des deux modèles. Le modèle exponentiel, calé sur

$1950$ - $1980$ , colle parfaitement à sa période de calage puis s'écarte de plus en plus : il prévoit $8, 1$ milliards en $2010$ contre $7, 0$ observés, et près de $12$ milliards en $2030$ . Le modèle linéaire, calé sur $1980$ - $2020$ , suit les données de très près et donne $10, 3$ milliards en $2050$ , un peu au-dessus de la projection de l'Organisation des nations unies.</div>

Exemple 10.15Un modèle exponentiel mis en défaut

Calons le modèle exponentiel sur la seule période $1950$ - $1980$ , où il convient : raison $q = 1, 216$ par décennie. Puis prolongeons-le, et comparons.

Année	$1990$	$2000$	$2010$	$2020$	$2030$
Modèle exponentiel	$5, 47$	$6, 66$	$8, 10$	$9, 85$	$11, 99$
Population réelle	$5, 3$	$6, 1$	$7, 0$	$7, 8$	---
Écart relatif	$+ 3 %$	$+ 9 %$	$+ 16 %$	$+ 26 %$	---

L'écart n'est pas seulement grand : il croît régulièrement. C'est la signature caractéristique d'un modèle exponentiel appliqué au-delà de son domaine. Deux points de méthode. D'abord, en $1990$ l'écart de $3 %$ était faible et pouvait passer pour du bruit ; c'est seulement en accumulant les années qu'on a pu conclure. Ensuite, l'écart va toujours dans le même sens, ce qui interdit de l'attribuer au hasard des mesures : le modèle surestime systématiquement.

Proposition 10.16La portée et les limites du modèle de Malthus

Si les prédictions du modèle de Malthus peuvent se révéler correctes sur un temps court, elles sont irréalistes sur un temps long, notamment en raison de l'insuffisance des ressources disponibles.

Sur un temps court, les taux varient peu et le modèle donne d'excellents résultats — c'est pourquoi il reste utilisé, par exemple pour dimensionner un réseau scolaire à cinq ans. Sur un temps long, deux choses le prennent en défaut : les ressources ne sont pas illimitées, et surtout les taux eux-mêmes changent, parce que les sociétés changent.

10.7.2 Ajuster un nuage et prévoir

Méthode : Ajuster un nuage de points par une courbe de tendance et
l'utiliser pour prévoir</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text"> Au tableur ou à la calculatrice :

Saisir les données en deux colonnes, la première portant la variable de temps.
Tracer le nuage (graphique de type « nuage de points », et non « courbes »), et le regarder avant tout calcul.
Demander une courbe de tendance du type suggéré par la forme du nuage : linéaire si les points s'alignent, exponentielle s'ils s'incurvent. Afficher l'équation.
Prévoir en remplaçant la variable de temps par la valeur voulue, et non en prolongeant la courbe à la main sur le graphique, ce qui est moins précis.
Encadrer la prévision. On ne donne jamais un chiffre unique : on indique un intervalle, obtenu par exemple en ajustant séparément sur les vingt dernières années et sur les quarante dernières.

iRemarqueInterpoler, extrapoler : deux gestes très inégaux

Interpoler, c'est estimer une valeur à l'intérieur de l'intervalle couvert par les données : par exemple la population mondiale en $1995$ , entre deux valeurs connues. C'est raisonnablement sûr.

Extrapoler, c'est estimer une valeur à l'extérieur : par exemple en $2100$ . C'est infiniment plus risqué, parce qu'on suppose que ce qui a gouverné les données passées continuera de gouverner l'avenir — exactement l'hypothèse que la figure précédente vient de mettre en défaut. On peut extrapoler ; il faut le dire, et dire jusqu'où.

Une bonne règle empirique : n'extrapoler que sur une durée petite devant celle couverte par les données, et toujours accompagner le résultat de l'hypothèse qui le porte.

Un tableur n'est pas indispensable : quelques lignes de Python tabulent un modèle et calculent les écarts. Le programme ci-dessous n'est donné qu'en illustration ; aucun code n'est exigible.


annees = [1950, 1960, 1970, 1980, 1990, 2000, 2010, 2020]
reel   = [ 2.5,  3.0,  3.7,  4.5,  5.3,  6.1,  7.0,  7.8]

# Modele exponentiel cale sur 1950-1980 : raison par decennie
q = (4.5 / 2.5) ** (1 / 3)
print("raison par decennie :", round(q, 4))

for i, an in enumerate(annees):
    modele = 2.5 * q ** ((an - 1950) / 10)
    ecart = (modele - reel[i]) / reel[i] * 100
    print(an, round(modele, 2), reel[i], str(round(ecart)) + " %")

L'exécution affiche une raison de $1, 2164$ et des écarts nuls jusqu'en $1980$ , puis $+ 3$ , $+ 9$ , $+ 16$ et $+ 26 %$ : les valeurs du tableau ci-dessus.

10.8 Et les ressources ? Le pari perdu de Malthus

10.8.1 Comparer deux croissances

Malthus affirmait que la production alimentaire ne pouvait croître qu'arithmétiquement. Deux siècles plus tard, nous disposons des données. Voici la production mondiale de blé, l'une des trois grandes céréales avec le riz et le maïs.

Année	$1961$	$1970$	$1980$	$1990$	$2000$	$2010$	$2020$
Blé (millions de tonnes)	$220$	$310$	$440$	$590$	$585$	$640$	$760$
Population (milliards)	$3, 1$	$3, 7$	$4, 5$	$5, 3$	$6, 1$	$7, 0$	$7, 8$
Blé, base $100$ en $1961$	$100$	$141$	$200$	$268$	$266$	$291$	$345$
Population, base $100$	$100$	$119$	$145$	$171$	$197$	$226$	$252$

Production de blé : valeurs arrondies, d'après les statistiques de l'Organisation des Nations unies pour l'alimentation et l'agriculture.

Méthode : Proposer un modèle de croissance d'une ressource alimentaire et
la comparer à une croissance exponentielle</h4><div class="text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text">

Ramener les deux séries à une base commune, généralement $100$ à la première date : c'est la seule façon de comparer des grandeurs d'unités différentes (des tonnes et des habitants).
Calculer les variations absolues et relatives de la série de production, et appliquer le critère de choix du modèle.
Tracer sur le même graphique la ressource, la population, et une croissance exponentielle de référence dont on précise le taux.
Comparer les pentes, pas les niveaux : la question n'est pas laquelle des deux courbes est la plus haute, mais laquelle monte le plus vite.
Calculer la ressource par habitant, quotient des deux séries : c'est la grandeur qui compte réellement pour la question posée.
Conclure prudemment. Une moyenne mondiale par habitant ne dit rien de la répartition.

$\leftrightarrow$ Pourcentages, indices base $100$ , lectures graphiques, proportionnalité.

Production mondiale de blé et population mondiale, ramenées

à un indice $100$ en $1961$ . La production a été multipliée par $3, 45$ et la population par $2, 52$ : la ressource a crû plus vite que le nombre de bouches à nourrir, contrairement à ce que prévoyait Malthus. La croissance du blé n'est pourtant ni régulière ni proprement exponentielle : elle marque un net plateau entre $1990$ et $2000$ .</div>

Exemple 10.17Le blé par habitant

Divisons la production par la population. $1961 : \frac{220 Mt}{3 , 1 milliards} \approx 71 kg par habitant, 2020 : \frac{760}{7 , 8} \approx 97 kg par habitant .$ La disponibilité en blé par personne a donc augmenté d'environ un tiers en soixante ans, tout en passant par un maximum voisin de $111$ kg vers $1990$ puis en redescendant. Ce dernier mouvement ne traduit pas une pénurie : d'autres cultures, dont le maïs, ont pris une part croissante de la production mondiale. La prédiction de Malthus est empiriquement fausse pour la période $1961$ - $2020$ .

iRemarquePourquoi Malthus s'est trompé, et sur quoi il avait raison

Il s'est trompé parce qu'il a supposé constante une grandeur qui ne l'était pas : le rendement, c'est-à-dire la production par hectare. Or, entre $1960$ et $2000$ , la sélection variétale, les engrais de synthèse, l'irrigation et la mécanisation ont fait bondir les rendements céréaliers dans une grande partie du monde — un ensemble de transformations que l'on appelle la révolution verte, dont l'agronome Norman Borlaug fut l'une des figures et qui lui valut le prix Nobel de la paix en $1970$ . La production a donc augmenté sans que les surfaces cultivées augmentent proportionnellement. Malthus, écrivant en $1798$ , ne pouvait pas anticiper cela : son modèle ne comportait pas de paramètre pour le progrès technique.

Sur un point cependant il avait raison, et ce point reste ouvert : aucune croissance exponentielle ne peut se poursuivre indéfiniment dans un monde fini. La question n'est pas de savoir si la croissance de la population s'arrêtera, mais quand, à quel niveau, et par quel mécanisme. Par ailleurs, la révolution verte a eu un coût environnemental élevé — pollution des eaux par les nitrates, érosion des sols, effondrement de la diversité des variétés cultivées — et une production mondiale suffisante en moyenne n'a jamais supprimé la faim, qui est un problème de pauvreté et d'accès, non de quantité totale.

10.9 Ce que le modèle exponentiel ignore : la capacité de charge

10.9.1 Un modèle qui freine tout seul

Le défaut du modèle de Malthus est facile à nommer : le taux de croissance y est constant, donc indépendant de l'effectif. Or il est évident qu'une population très nombreuse dans un milieu donné se reproduit moins bien qu'une population clairsemée : la nourriture, l'espace, l'eau se raréfient. Il faut donc un modèle où le taux de croissance diminue quand l'effectif augmente.

Définition 10.18Capacité de charge

La capacité de charge d'un milieu, notée $K$ , est l'effectif maximal qu'une population peut y maintenir durablement, compte tenu des ressources disponibles. Au-dessous de $K$ , la population tend à croître ; au-dessus, elle tend à décroître ; en $K$ , elle se stabilise.

Définition 10.19Modèle logistique

Le modèle logistique, proposé par le mathématicien belge Pierre-François Verhulst en $1838$ , remplace le taux constant du modèle de Malthus par un taux qui décroît linéairement avec l'effectif : $P_{n + 1} = P_{n} + r P_{n} (1 - \frac{P _{n}}{K}) .$ Le facteur $(1 - \frac{P _{n}}{K})$ est le frein. Quand $P_{n}$ est très petit devant $K$ , il vaut presque $1$ et l'on retrouve la croissance exponentielle ; quand $P_{n}$ approche $K$ , il tend vers $0$ et la croissance s'annule. La courbe obtenue a une forme caractéristique en S, dite sigmoïde.

Le modèle logistique comparé au modèle exponentiel, à partir

du même effectif initial et du même taux de croissance. Les deux courbes sont confondues au départ : tant que la population est petite devant la capacité de charge, le frein ne se voit pas. Elles divergent ensuite complètement. Conséquence pratique : observer une croissance exponentielle ne permet pas de conclure qu'elle continuera.</div>

iRemarqueLa capacité de charge de la Terre : une grandeur qui n'existe

pas toute seule<div style='margin-top:8px' class='text-gray-700 leading-relaxed font-sans text-xs select-text'> La tentation est grande d'appliquer le modèle logistique à l'humanité entière et de demander : combien vaut $K$ ? La question a été posée des dizaines de fois. Le démographe Joel Cohen, dans un ouvrage de $1995$ consacré à cette question, a recensé les estimations publiées depuis le XVII^e siècle : elles s'échelonnent de moins d'un milliard à plus de mille milliards. Un écart de ce genre n'est pas une imprécision, c'est le signe que la grandeur est mal définie.

La raison est simple. $K$ dépend du régime alimentaire moyen, des rendements agricoles, de la consommation d'énergie par personne, de la quantité d'eau mobilisable, du niveau de vie que l'on juge acceptable — autrement dit de choix techniques et sociaux, pas de constantes de la nature. Demander « combien d'humains la Terre peut-elle porter ? » n'a de sens qu'accompagné de la question « vivant comment ? ». Le modèle logistique reste un outil de pensée précieux ; il ne fournit pas de chiffre à mettre en titre.

10.10 Ce que le modèle ignore encore : l'âge des gens

10.10.1 Une population n'est pas un tas

Le modèle de Malthus traite les habitants comme des unités interchangeables. Or la probabilité qu'une personne donne naissance à un enfant dans l'année dépend fortement de son âge, de même que sa probabilité de mourir. Une population majoritairement jeune et une population majoritairement âgée, avec exactement les mêmes taux de fécondité et de mortalité par âge, n'auront pas du tout la même trajectoire. C'est pourquoi les démographes ne modélisent jamais un effectif global : ils modélisent une structure par âge.

Définition 10.20Pyramide des âges

La pyramide des âges d'une population est un double diagramme en barres horizontales : chaque barre représente une classe d'âge, les hommes à gauche, les femmes à droite, la longueur donnant l'effectif ou la part de la population totale. Sa forme résume l'histoire démographique du dernier siècle : les creux correspondent aux guerres ou aux crises, les bosses aux périodes de forte natalité.

Définition 10.21Indice conjoncturel de fécondité, seuil de renouvellement

L'indice conjoncturel de fécondité est le nombre moyen d'enfants qu'aurait une femme au cours de sa vie si elle connaissait, à chaque âge, les taux de fécondité observés dans l'année considérée. Le seuil de renouvellement des générations est la valeur de cet indice qui assure, à long terme, un effectif constant : environ $2, 1$ enfants par femme dans un pays à faible mortalité infantile — un peu plus de deux, pour compenser les décès avant l'âge d'avoir des enfants et le léger déséquilibre entre naissances de garçons et de filles.

Deux pyramides des âges tracées à la même échelle, chacune

répartissant $100 %$ de sa population. Ce ne sont pas deux pays réels mais deux profils types. La forme de gauche contient une information que le seul effectif total ne donne pas : les classes nombreuses du bas atteindront l'âge d'avoir des enfants dans dix à vingt ans.</div>

iRemarqueL'inertie démographique

Voici la conséquence la plus contre-intuitive de la structure par âge. Supposons qu'un pays dont la pyramide ressemble à celle de gauche voie sa fécondité tomber demain au seuil de renouvellement, $2, 1$ enfants par femme. Sa population continuerait pourtant de croître pendant plusieurs décennies, simplement parce que les classes nombreuses déjà nées vont entrer en âge d'avoir des enfants : même avec deux enfants par femme, un très grand nombre de femmes fait un très grand nombre de naissances.

Ce phénomène s'appelle l'inertie démographique, ou effet de moment. Il explique une part importante de la croissance mondiale à venir, et il explique aussi pourquoi les projections démographiques à trente ans sont bien plus fiables qu'on ne le croit : la plupart des habitants de $2050$ sont déjà nés.

Proposition 10.22Ce que prévoient les modèles élaborés

Des modèles plus élaborés prévoient que la population mondiale atteindra environ $10$ milliards d'humains en $2050$ .

Ces modèles ne sont pas exponentiels. Ils projettent séparément, pour chaque pays et chaque classe d'âge, la fécondité, la mortalité et les migrations, puis recomposent le total. La révision publiée par l'Organisation des nations unies le $11$ juillet $2022$ retenait environ $8, 5$ milliards en $2030$ , $9, 7$ en $2050$ , et un maximum de l'ordre de $10, 4$ milliards atteint dans les années $2080$ avant une lente décroissance. Ces chiffres sont révisés tous les deux ans, et les révisions récentes ont plutôt abaissé le maximum : une projection est un scénario assorti d'hypothèses, pas une mesure.

iRemarqueComment lire une projection

Trois réflexes. Un : chercher l'horizon. À dix ans, une projection démographique est très fiable ; à trente ans, elle l'est encore raisonnablement ; à cent ans, elle relève du scénario. Deux : chercher la fourchette. Les publications de l'Organisation des nations unies donnent toujours un intervalle de projection, plus large à mesure qu'on s'éloigne, et c'est cet intervalle qui porte l'information. Trois : chercher les hypothèses. Une projection « haute » et une projection « basse » diffèrent surtout par l'hypothèse de fécondité future, qui est le paramètre le plus incertain — et le seul sur lequel les politiques publiques agissent réellement.

10.11 La transition démographique

10.11.1 Pourquoi les taux ne sont pas constants

Nous avons dit que le modèle de Malthus échoue parce qu'il suppose des taux constants. Il reste à dire comment ils varient. La réponse tient dans un schéma que les démographes ont dégagé en comparant les histoires nationales : la transition démographique.

Définition 10.23Transition démographique

On appelle transition démographique le passage d'un régime démographique ancien, où natalité et mortalité sont toutes deux élevées et l'accroissement faible, à un régime moderne où natalité et mortalité sont toutes deux basses et l'accroissement de nouveau faible. Entre les deux, la mortalité baisse d'abord et la natalité plus tard : l'écart entre les deux courbes s'ouvre, et la population augmente fortement. C'est ce décalage, et lui seul, qui produit la croissance.

Le schéma de la transition démographique. Phase

1

natalité et mortalité élevées, la mortalité fluctuant au gré des crises ; l'effectif stagne. Phase $2$ : la mortalité chute, la natalité reste haute ; l'accroissement naturel, en jaune, est maximal et la population décolle. Phase $3$ : la natalité baisse à son tour, l'accroissement se referme. Phase $4$ : les deux taux sont bas, l'effectif se stabilise à un niveau beaucoup plus élevé qu'au départ. C'est le passage par la phase $2$ qui explique l'essentiel de la croissance mondiale des deux derniers siècles.</div>

Exemple 10.24Ce qui fait baisser la mortalité, puis la natalité

La baisse de la mortalité s'explique d'abord par des progrès qui ne sont pas médicaux : l'accès à l'eau potable, l'assainissement, une alimentation plus régulière et plus variée, la fin des grandes famines. Viennent ensuite la vaccination et les antibiotiques. Elle touche surtout les enfants : c'est la mortalité infantile qui s'effondre en premier.

La baisse de la natalité, plus tardive, tient à un faisceau de causes : la scolarisation des filles et l'allongement des études, l'accès à la contraception, l'urbanisation qui rend les enfants coûteux au lieu d'être une main-d'œuvre, l'existence de systèmes de retraite qui rendent moins nécessaire une descendance nombreuse, et — mécanisme essentiel — le fait qu'il devienne inutile d'avoir six enfants pour être sûr que trois survivent. Le décalage entre les deux baisses, souvent de deux à trois générations, est exactement la durée de la phase de forte croissance.

iRemarqueUn schéma, pas une loi

La transition démographique décrit correctement ce qui s'est passé en Europe entre le XVIII^e et le XX^e siècle, puis dans la plus grande partie du monde au XX^e. Elle n'a cependant ni la même durée ni la même amplitude partout : très étalée en France, où la natalité a commencé à baisser dès la fin du XVIII^e siècle, presque en même temps que la mortalité, elle a été beaucoup plus rapide et plus violente dans les pays qui l'ont vécue au XX^e siècle. Certains pays sont aujourd'hui en phase $4$ avec une fécondité durablement inférieure au seuil de renouvellement, ce que le schéma classique n'avait pas prévu. C'est une régularité empirique utile, pas une loi de la nature.

10.12 Histoire des sciences : huit siècles de modèles

$1202$ — Fibonacci et la première suite de population. Dans le Liber abaci, le mathématicien pisan Leonardo Fibonacci pose un problème d'élevage : combien de couples de lapins obtient-on au bout d'un an, si chaque couple engendre un couple par mois à partir de son deuxième mois ? La réponse est la suite $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ , où chaque terme est la somme des deux précédents. Le problème est irréaliste — les lapins n'y meurent jamais — mais c'est, à notre connaissance, la première fois qu'une population est décrite par une relation de récurrence. Le geste fondateur est là : écrire l'effectif de demain en fonction de celui d'aujourd'hui.

$1798$ — Malthus pose le problème. Le mérite de l'Essai sur le principe de population n'est pas d'avoir eu raison, mais d'avoir formulé une question quantitative là où l'on ne faisait que des considérations morales : comparer deux vitesses de croissance. C'est un modèle au sens plein — hypothèses explicites, conclusion démontrée, prédiction vérifiable.

$1835$ — Quetelet cherche le frein. L'astronome et statisticien belge Adolphe Quetelet, dans Sur l'homme et le développement de ses facultés, constate que la croissance réelle des populations ralentit et propose que la « résistance » au développement croisse avec la population elle-même. L'idée du frein est là, la formule ne l'est pas encore.

$1838$ — Verhulst écrit l'équation. Pierre-François Verhulst, élève de Quetelet, publie l'équation qui porte le frein, et lui donne en $1845$ le nom de logistique. Son travail passe presque inaperçu et sera redécouvert au début du XX^e siècle. C'est un cas fréquent en histoire des sciences : un résultat correct publié trop tôt, dans une revue peu lue, met des décennies à s'imposer.

$1925$ - $1926$ — Lotka et Volterra couplent deux populations. Le mathématicien américain Alfred Lotka et le mathématicien italien Vito Volterra proposent, indépendamment, un modèle à deux espèces : des proies et des prédateurs, chacune influençant la croissance de l'autre. Le modèle produit des oscillations — les populations montent et descendent alternativement, sans jamais se stabiliser. C'est une nouveauté conceptuelle majeure : un système peut osciller sans qu'aucune cause extérieure ne l'y force. Volterra l'avait construit pour expliquer une observation de son beau-père biologiste : la proportion de poissons prédateurs pêchés en Adriatique avait augmenté pendant la Première Guerre mondiale, quand la pêche s'était interrompue.

$1972$ — Le rapport Meadows. Une équipe du Massachusetts Institute of Technology publie The Limits to Growth, commandé par le Club de Rome : un modèle informatique couplant population, production industrielle, alimentation, ressources et pollution. Ses auteurs y explorent des scénarios, dont plusieurs aboutissent à un effondrement au XXI^e siècle. Le rapport a été très discuté, à juste titre : beaucoup de ses paramètres étaient mal contraints et il a souvent été présenté, dans la presse comme chez ses détracteurs, comme une prédiction alors que ses auteurs annonçaient des scénarios. Il reste un jalon parce qu'il a introduit dans le débat public l'idée d'un modèle couplé, où la démographie ne se traite pas séparément des ressources et de l'environnement.

iRemarqueCe que raconte cette succession

Regardez la logique de ces huit siècles : à chaque étape, un modèle est mis en défaut par les données, et le modèle suivant ajoute précisément ce qui manquait. Fibonacci n'a pas de mortalité, Malthus l'ajoute. Malthus n'a pas de frein, Verhulst l'ajoute. Verhulst n'a qu'une espèce, Lotka et Volterra en couplent deux. Lotka et Volterra n'ont pas de ressources, Meadows les ajoute. Aucun de ces modèles n'est « le vrai » ; chacun capture un mécanisme de plus, au prix d'une complication et de paramètres supplémentaires à estimer.

C'est une leçon générale sur la modélisation : un modèle n'est pas jugé sur sa vérité mais sur son utilité pour une question donnée. Le modèle de Malthus est parfaitement adapté pour estimer les effectifs scolaires d'une commune à cinq ans, et parfaitement inadapté pour discuter l'avenir de l'humanité.

10.13 Sciences, société : ce qu'un modèle ne décide pas

10.13.1 Du modèle à la politique : le pas de trop

Malthus ne s'est pas arrêté à son modèle. Il en a tiré des conclusions politiques : puisque l'aide aux plus pauvres leur permet d'avoir plus d'enfants, elle aggraverait selon lui le problème qu'elle prétend soulager, et il a plaidé contre les lois d'assistance anglaises de son époque. Cette position a été très critiquée dès sa publication, et elle est instructive pour nous.

iRemarqueUn modèle ne contient jamais ses propres conclusions morales

Le modèle de Malthus dit : si les taux restent constants, alors l'effectif suit une suite géométrique. C'est tout ce qu'il dit. Il ne dit pas s'il faut aider les pauvres, ni combien d'enfants il faudrait faire, ni ce qu'est une population « excessive ». Ces questions engagent des valeurs, et les valeurs ne se déduisent pas d'une équation.

Le passage indu du modèle à la prescription porte un nom en philosophie : c'est le passage du est au doit. Le repérer est l'un des réflexes critiques les plus utiles qu'un cours de sciences puisse donner. La science éclaire une décision — elle en calcule les conséquences prévisibles ; elle ne la prend pas.

10.13.2 Néomalthusianisme et politiques de population

Au XX^e siècle, l'inquiétude démographique a inspiré des politiques de limitation des naissances, parfois incitatives, parfois coercitives. Le cas le plus documenté est la politique dite de l'enfant unique, appliquée en Chine à partir de $1979$ - $1980$ et progressivement abandonnée à partir de $2015$ . Ses effets sont aujourd'hui bien étudiés, et ils illustrent une leçon de modélisation.

D'abord, la fécondité chinoise avait déjà beaucoup baissé avant la mise en place de la politique, dans les années $1970$ : attribuer toute la baisse ultérieure à la mesure, c'est confondre corrélation et causalité. Ensuite, la mesure a produit des effets que le raisonnement initial n'avait pas prévus : un déséquilibre durable entre le nombre de garçons et de filles à la naissance, et un vieillissement extrêmement rapide de la population, avec une pyramide des âges déformée pour des décennies. Enfin, quand la politique a été assouplie, la fécondité n'est pas remontée : les comportements avaient changé.

Un modèle démographique agrégé — un effectif global et deux taux — ne pouvait capturer aucun de ces trois effets, qui portent tous sur la structure de la population et sur les comportements. Ce n'est pas une objection à la modélisation ; c'est un rappel de la question à poser avant d'agir sur la foi d'un modèle : qu'est-ce que ce modèle ne représente pas ?

iRemarqueUne ouverture : le même calcul pour une épidémie

Le début d'une épidémie obéit exactement à la mathématique de ce chapitre. Si chaque personne contaminée en contamine en moyenne $R$ autres avant de guérir, le nombre de cas est une suite géométrique de raison $R$ : elle explose si $R > 1$ , s'éteint si $R < 1$ . Une croissance de $30 %$ par jour donne un temps de doublement de $70/30 \approx 2, 3$ jours — la règle des $70$ s'applique telle quelle.

Mais, comme pour une population, la croissance exponentielle ne dure pas : à mesure que des personnes sont immunisées ou modifient leur comportement, $R$ diminue, et la courbe s'infléchit exactement comme la courbe logistique. On retrouve les deux idées du chapitre : la phase exponentielle est réelle, et l'extrapoler jusqu'au bout est une erreur.

10.14 Bilan

Ce qu'il faut savoir

Une évolution dont la variation absolue par unité de temps est presque constante donne un nuage aligné et se modélise par une suite arithmétique : c'est le modèle linéaire.
Une évolution dont la variation relative par unité de temps est presque constante donne un nuage incurvé et se modélise par une suite géométrique : c'est le modèle exponentiel.
Le modèle de Malthus est un modèle exponentiel : $P_{n} = P_{0} (1 + τ_{n} - τ_{m})^{n}$ . Il prévoit une décroissance vers $0$ si la mortalité l'emporte sur la natalité, une croissance sans limite dans le cas contraire.
Ses prédictions peuvent être correctes sur un temps court ; elles sont irréalistes sur un temps long, notamment en raison de l'insuffisance des ressources disponibles.
Des modèles plus élaborés prévoient une population mondiale d'environ $10$ milliards d'humains en $2050$ .

Ce qu'il faut savoir faire

Calculer des variations absolues et relatives par unité de temps, et s'en servir pour choisir entre le modèle linéaire et le modèle exponentiel.
Prédire, selon le modèle de Malthus, l'effectif d'une population au bout de $n$ années à partir de son effectif initial, de son taux de natalité et de son taux de mortalité.
Calculer un temps de doublement par tabulation, par lecture graphique ou au tableur, et le contrôler par la règle des $70$ .
Proposer un modèle de croissance d'une ressource alimentaire et la comparer à une croissance exponentielle.
Ajuster un nuage de points par une courbe de tendance et l'utiliser pour prévoir, en distinguant interpolation et extrapolation.
Comparer les valeurs fournies par un modèle à des données réelles afin de tester sa validité, en calculant les écarts absolus et relatifs.

Quatre repères chiffrés

Huit milliards d'êtres humains atteints le $15$ novembre $2022$ . Environ $+ 80$ millions d'habitants par an depuis les années $1980$ : la variation absolue, pas la variation relative, est ce qui est resté constant. $70/ t$ : le temps de doublement, en années, pour un taux de $t %$ par an. Environ $2, 1$ enfants par femme : le seuil de renouvellement des générations.

Ce que ce chapitre dit de la science elle-même

Un modèle n'est ni vrai ni faux : il est adapté, ou non, à une question et à un domaine. Le modèle de Malthus est excellent pour prévoir les effectifs scolaires d'une commune à cinq ans et ruineux pour discuter l'avenir de l'humanité — sans avoir changé d'une virgule entre les deux usages.

La démarche complète tient en quatre gestes, que ce chapitre a répétés : choisir un modèle en regardant les données, en déterminer les paramètres, le confronter à des observations qui n'ont pas servi au calage, et délimiter son domaine de validité. Le quatrième geste est le plus souvent oublié, et c'est celui qui distingue un scientifique d'un prophète.

Il reste un dernier point, et il n'est pas mathématique. Le calcul dit ce qui arriverait si telles hypothèses tenaient. Il ne dit pas combien nous devrions être, ni ce qu'il faudrait faire. Malthus a franchi ce pas et en a tiré des recommandations politiques que son modèle ne contenait pas ; la leçon vaut bien au-delà de la démographie. Quand on vous présentera une décision comme « imposée par les chiffres », cherchez les hypothèses — elles sont toujours là, et elles ne sont jamais neutres.

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