Le modèle de Malthus appliqué

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (terminale), chapitre 10 — Les modèles démographiques

Énoncé

Une population de $8, 4$ millions d'habitants a un taux de natalité de $34$ pour mille et un taux de mortalité de $11$ pour mille. 1. Calculer le taux d'accroissement naturel et la raison du modèle. 2. Prédire l'effectif en $2035$ , $2045$ et $2065$ , l'année de départ étant $2025$ . 3. Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé ? Vérifier avec la règle des $70$ . 4. Le modèle prévoit-il un effectif fini à long terme ?

Corrigé

1. $t = \frac{34 - 11}{1 000} = 0, 023$ , soit $2, 3 %$ par an ; $q = 1, 023$ .

2. $P_{n} = 8, 4 \times 1, 02 3^{n}$ . $P_{10} = 8, 4 \times 1, 2551 \approx 10, 5 millions (2035),$ $P_{20} = 8, 4 \times 1, 5753 \approx 13, 2 millions (2045),$ $P_{40} = 8, 4 \times 2, 4816 \approx 20, 8 millions (2065) .$

3. On tabule $1, 02 3^{n}$ : $1, 02 3^{30} \approx 1, 977$ ; $1, 02 3^{31} \approx 2, 022 ⩾ 2$ . Le doublement intervient au bout de $31$ ans. Règle des $70$ : $70/2, 3 \approx 30, 4$ , soit environ $30$ ans. L'accord est bon à une année près.

4. Non. Comme $q > 1$ , la suite géométrique croît sans borne : le modèle prédit un effectif qui dépasse toute valeur fixée à l'avance. C'est la limite principale du modèle de Malthus : il ignore la finitude des ressources, et son domaine de validité est donc court.

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