Linéaire ou exponentiel ?

Exercice de TD · niveau 2 · enseignement scientifique (terminale), chapitre 10 — Les modèles démographiques

Énoncé

Deux villes sont suivies tous les cinq ans (effectifs en milliers).

Année	$2000$	$2005$	$2010$	$2015$	$2020$
Ville A	$40, 0$	$43, 2$	$46, 7$	$50, 4$	$54, 4$
Ville B	$40, 0$	$43, 1$	$46, 1$	$49, 2$	$52, 2$

1. Pour chaque ville, calculer les variations absolues et relatives par période de cinq ans. 2. Choisir un modèle pour chacune, en justifiant. 3. Donner la formule explicite de chaque modèle et prédire l'effectif en $2035$ .

Corrigé

1. Ville A, variations absolues : $+ 3, 2$ ; $+ 3, 5$ ; $+ 3, 7$ ; $+ 4, 0$ — elles augmentent régulièrement. Variations relatives : $3, 2/40, 0 = 8, 0 %$ ; $3, 5/43, 2 = 8, 1 %$ ; $3, 7/46, 7 = 7, 9 %$ ; $4, 0/50, 4 = 7, 9 %$ — elles sont constantes.

Ville B, variations absolues : $+ 3, 1$ ; $+ 3, 0$ ; $+ 3, 1$ ; $+ 3, 0$ — constantes. Variations relatives : $7, 8 %$ ; $7, 0 %$ ; $6, 7 %$ ; $6, 1 %$ — elles décroissent.

2. Ville A : c'est la variation relative qui est constante, donc modèle exponentiel, de raison $q = 1, 08$ par période de cinq ans. Ville B : c'est la variation absolue qui est constante, donc modèle linéaire, de raison $r = + 3, 05$ milliers par période de cinq ans.

3. Avec $n$ compté en périodes de cinq ans depuis $2000$ : $A_{n} = 40, 0 \times 1, 0 8^{n}, B_{n} = 40, 0 + 3, 05 n .$ En $2035$ , $n = 7$ : $A_{7} = 40, 0 \times 1, 0 8^{7} \approx 40, 0 \times 1, 714 \approx 68, 6$ milliers ; $B_{7} = 40, 0 + 3, 05 \times 7 = 61, 4$ milliers.

Écart de plus de sept mille habitants entre deux villes parties du même effectif et dont les trajectoires paraissaient presque identiques en $2000$ . C'est la signature de l'exponentielle : elle ne se distingue du linéaire qu'à la longue, et alors brutalement.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.