Mettre une marge d'erreur sur l'estimation — exercice corrigé d'enseignement scientifique (terminale) (chapitre 7)

Mettre une marge d'erreur sur l'estimation

La biodiversité et son évolution · niveau 2

Énoncé

On reprend l'exercice précédent : $M = 85$ , $C = 120$ , $R = 17$ . On utilise l'intervalle de confiance $[f - 1/ n; f + 1/ n]$ au niveau $95 %$ . 1. Calculer la proportion observée $f$ de marqués dans la recapture, puis l'intervalle de confiance de cette proportion. 2. En déduire un encadrement de l'effectif $N$ . 3. On refait l'opération avec $C = 480$ et $R = 68$ , soit la même proportion. Recalculer l'encadrement. 4. Par combien la largeur de l'intervalle a-t-elle été divisée ? Était-ce prévisible ? 5. Que faudrait-il faire pour diviser encore l'incertitude par deux ?

Corrigé

1. $f = 17/120 \approx 0, 142$ et $1/ 120 \approx 0, 091$ . D'où $f \in [0, 142 - 0, 091; 0, 142 + 0, 091] = [0, 050; 0, 233] .$

2. La proportion de marqués dans la population vaut $M / N$ , donc $N = M / f$ . Attention à l'inversion des bornes : $N \in [\frac{85}{0 , 233}; \frac{85}{0 , 050}] \approx [365; 1690] .$ L'estimation ponctuelle de $600$ est bien dans cet intervalle, mais celui-ci va du simple au quadruple.

3. $1/ 480 \approx 0, 046$ , d'où $f \in [0, 096; 0, 187]$ et $N \in [\frac{85}{0 , 187}; \frac{85}{0 , 096}] \approx [455; 885] .$

4. La demi-largeur sur $f$ passe de $0, 091$ à $0, 046$ : elle est divisée par $2$ . C'était prévisible : elle vaut $1/ n$ , et l'échantillon a été multiplié par $4$ , donc $n$ par $2$ .

5. Il faudrait multiplier encore l'échantillon par $4$ , soit $C = 1920$ recaptures — sur une population estimée à $600$ individus, c'est impossible. On atteint ici une limite pratique : au-delà d'un certain point, on n'améliore plus la précision en agrandissant l'échantillon, il faut changer de méthode (plusieurs sessions de recapture, marquage individuel, suivi par caméra).