Combinaison optimale des facteurs

L'équilibre du producteur et du consommateur · niveau 2

Énoncé

Une entreprise produit $Q = L K$ . Le salaire est $w = 2$ , le coût du capital $r = 8$ , et la dépense $C = 80$ . Trouver la combinaison optimale et la production. Que devient-elle si le salaire monte à $8$ ?

Corrigé

La condition d'optimalité. $P m_{L} / w = P m_{K} / r$ donne $T M S T = K / L = w / r$ , soit ici $K / L = 2/8 = 0, 25$ , donc $L = 4 K$ .

L'isocoût. $2 L + 8 K = 80$ avec $L = 4 K$ : $8 K + 8 K = 80$ , donc $K^{*} = 5$ et $L^{*} = 20$ .

La production. $Q = 20 \times 5 = 100 = 10$ .

Avec $w = 8$ . La condition devient $K = L$ , et $8 L + 8 K = 80$ donne $L^{*} = K^{*} = 5$ , d'où $Q = 25 = 5$ .

Ce que le calcul montre. Le travail passe de $20$ à $5$ unités, le capital ne bouge pas, la production est divisée par deux à dépense inchangée — et la dépense sur chaque facteur reste $40$ : la Cobb-Douglas fige les parts.

L'interprétation. Quand un facteur renchérit, l'entreprise en emploie moins (substitution) et produit moins, le même budget achetant moins de facteurs au total. Les deux effets se cumulent : il faut les nommer séparément.

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