Les deux seuils, sur une fonction de coût

L'équilibre du producteur et du consommateur · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le coût total est $C T (q) = q^{3} - 6 q^{2} + 15 q + 32$ . Le prix de marché est $30$ . Déterminer la quantité offerte, la recette, le profit. Vérifier ensuite que $p = 15$ est le seuil de rentabilité et $p = 6$ le seuil de fermeture.

Corrigé

Le coût marginal. $C m (q) = 3 q^{2} - 12 q + 15$ .

La quantité offerte. $p = C m$ donne $3 q^{2} - 12 q + 15 = 30$ , soit $q^{2} - 4 q - 5 = 0$ , donc $q = 5$ (la racine $- 1$ est à rejeter).

Recette et profit. $R = 30 \times 5 = 150$ ; $C T (5) = 125 - 150 + 75 + 32 = 82$ ; $π = 68$ .

Le seuil de rentabilité. $C M (q) = q^{2} - 6 q + 15 + 32/ q$ est minimal en $q = 4$ , où il vaut $15$ , et $C m (4) = 48 - 48 + 15 = 15$ : les deux se croisent là. Au prix $15$ , recette $60$ et $C T (4) = 60$ — profit nul.

Le seuil de fermeture. $C V M (q) = q^{2} - 6 q + 15$ est minimal en $q = 3$ où il vaut $6$ , et $C m (3) = 6$ . Au prix $6$ , recette $18$ et $C V (3) = 18$ : la perte est exactement $- C F = - 32$ .

La conclusion à formuler. Au seuil de fermeture, produire ou fermer donne le même résultat ; au-dessous, fermer est strictement meilleur. La courbe d'offre s'interrompt donc là, et non au seuil de rentabilité.

Énoncé

Corrigé

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