La marge d'erreur

La marge. Avec $p$ voisin de $0,5$,

$$1,96\sqrt{\frac{0,25}{400}}=\frac{0,98}{20}=0,049,$$

soit $\pm 4,9$ points, et un intervalle $[47,1\%;56,9\%]$.

Ce qu'on peut en dire. Rien, ou presque : la barre des $50\%$ est dans l'intervalle. Annoncer « le candidat est en tête » est un abus.

L'effectif nécessaire. Diviser la marge par deux exige de multiplier $n$ par quatre, la marge variant comme $1/\sqrt{n}$ : $n=1600$, et $0,98/40=0,0245$.

La morale. Le gain de précision est de plus en plus cher : de $400$ à $1600$ enquêtés, on gagne $2,45$ points ; de $1600$ à $6400$, on n'en gagnerait plus que $1,22$.