Épargner plus, jusqu'où ?

La croissance économique · niveau 2

Énoncé

Toujours avec $f (k) = k$ et $n + δ = 0, 10$ , exprimer la consommation par tête stationnaire en fonction de $s$ , puis trouver le taux d'épargne qui la maximise.

Corrigé

L'état stationnaire. $s k = 0, 10 k$ donne $k^{*} = 10 s$ , donc $k^{*} = 100 s^{2}$ et $y^{*} = 10 s$ .

La consommation. $c^{*} = (1 - s) y^{*} = 10 s (1 - s) = 10 s - 10 s^{2}$ .

Le maximum. $\frac{d c ^{*}}{d s} = 10 - 20 s$ , qui s'annule en $s = 0, 5$ . La dérivée seconde vaut $- 20 < 0$ : c'est bien un maximum.

Les valeurs au maximum. $k^{*} = 25$ , $y^{*} = 5$ , $c^{*} = 0, 5 \times 5 = 2, 5$ .

Contrôle par comparaison. À $s = 0, 30$ on avait $c^{*} = 2, 10$ ; à $s = 0, 70$ , $c^{*} = 10 \times 0, 7 \times 0, 3 = 2, 10$ également. La courbe est symétrique autour de $0, 5$ , ce que confirme la formule.

Le nom. $s = 0, 5$ est ici la règle d'or de l'accumulation — elle coïncide avec l'exposant du capital dans $f (k) = k^{1/2}$ , ce qui n'est pas un hasard : la règle d'or égalise le taux d'épargne à l'élasticité de la production au capital.

Énoncé

Corrigé

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