Calculer un Gini avant et après

Avant. Total $=300$. Parts : $0,0333$ ; $0,10$ ; $0,1667$ ; $0,2333$ ; $0,4667$. Cumuls : $0,0333$ ; $0,1333$ ; $0,30$ ; $0,5333$ ; $1$. Chaque trapèze a pour base $0,2$ et pour hauteur moyenne la demi-somme de deux cumuls consécutifs, d'où $\mathcal{A}=0,1\sum$ des sommes deux à deux :

$$\mathcal{A}=0,1[0,0333+0,1667+0,4333+0,8333+1,5333]=0,1\times 3,000=0,300.$$

D'où $G=1-2\mathcal{A}=0,400$.

Après. Revenus : $30$, $40$, $50$, $70$, $110$ ; total inchangé, $300$. Parts : $0,10$ ; $0,1333$ ; $0,1667$ ; $0,2333$ ; $0,3667$. Cumuls : $0,10$ ; $0,2333$ ; $0,40$ ; $0,6333$ ; $1$. Le même calcul donne :

$${\mathcal{A}}^{\prime }=0,1[0,10+0,3333+0,6333+1,0333+1,6333]=0,1\times 3,7333=0,3733.$$

D'où $G^{\prime }=1-2{\mathcal{A}}^{\prime }=0,2533$.

La réduction. $0,400-0,2533=0,1467$ point, soit $0,1467/0,400=36,7\%$.

Le contrôle qu'il faut prendre l'habitude de faire. Avec des groupes d'effectifs égaux, le Gini par trapèzes doit coïncider avec le Gini calculé par la moyenne des écarts absolus entre tous les couples d'individus. Les deux méthodes donnent bien ici $0,400$ et $0,2533$. Un désaccord signalerait une erreur de cumul.

La remarque qui vaut le calcul. Le transfert n'a déplacé que $30$ sur $300$, soit $10\%$ de la masse, et il réduit le Gini de plus d'un tiers. Le rendement redistributif d'un transfert ciblé sur le bas est très élevé — c'est exactement ce que dit la figure 2.