La moyenne des moyennes n'est pas la moyenne

(a)

Moyenne globale : Le nombre total de pages est de $4608$ réparti sur $8$ livres, soit une moyenne de $4608/8 = 576$ pages par livre.
Moyenne par auteur :
Jules Verne : $1280/3 \approx 426, 7$ pages par livre.
Jane Austen : $480/1 = 480$ pages par livre.
Léon Tolstoï : $2400/2 = 1200$ pages par livre.
Colette : $448/2 = 224$ pages par livre.
Moyenne des moyennes : $\frac{426.7 + 480 + 1200 + 224}{4} \approx 582, 7$ pages. On observe bien que $582, 7 \neq = 576$ . (b) La moyenne globale attribue le même poids à chaque livre ( $1/8$ ). La moyenne des moyennes attribue le même poids à chaque auteur ( $1/4$ ). Comme Jules Verne a écrit des ouvrages plus courts mais en plus grand nombre, sa faible moyenne pèse $37, 5%$ ( $3/8$ ) de la moyenne globale, mais seulement $25%$ ( $1/4$ ) de la moyenne des moyennes. La moyenne globale répond à la question : « Combien de pages comporte un livre typique de la bibliothèque ? ». La moyenne des moyennes répond à : « Quelle est la longueur moyenne d'un livre représentatif d'un auteur ? ». (c) Ces deux calculs fournissent le même résultat dès que tous les auteurs possèdent exactement le même nombre de livres dans la base, ou que les moyennes par auteur sont toutes identiques (conditions suffisantes ; en toute rigueur, l'égalité équivaut à $\sum_{a} (n_{a} - N / A) m_{a} = 0$ , $n_{a}$ et $m_{a}$ étant l'effectif et la moyenne de l'auteur $a$ ).

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