La méthode de Monte-Carlo

Modules, fichiers et données · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Estimer la valeur de $π$ en simulant $n$ points uniformément répartis dans le carré unité $[0, 1]^{2}$ et en calculant la proportion de points se situant dans le quart de disque unité $x^{2} + y^{2} \leq 1$ . Étudier l'erreur pour $n \in {1 0^{2}, 1 0^{4}, 1 0^{6}}$ .

Corrigé

La probabilité pour qu'un point tombe dans le quart de disque de surface $π /4$ à l'intérieur du carré de surface 1 vaut $π /4$ . La fréquence observée $f_{n}$ permet d'estimer $π \approx 4 f_{n}$ .

import random
random.seed(2)

def estime_pi(n: int) -> float:
    dans_disque = 0
    for _ in range(n):
        x = random.random()
        y = random.random()
        if x*x + y*y <= 1.0:
            dans_disque += 1
    return 4.0 * dans_disque / n

import math
for n in (100, 10_000, 1_000_000):
    pi_est = estime_pi(n)
    print(f"n={n:<7} estimation={pi_est:<10} erreur={abs(pi_est - math.pi):.6f}")

L'erreur décroit proportionnellement à $1/ n$ . Multiplier la précision par 10 nécessite d'augmenter le nombre de tirages par un facteur 100.

Énoncé

Corrigé

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