Exercices corrigés — Raisonnement et vocabulaire ensembliste (mathématiques appliquées (ECG 1re année))

35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

Logique et quantificateurs

• Quantifier, puis nier
• L'ordre des quantificateurs
• Réciproque et contraposée
• Nécessaire, suffisante, ou les deux
• Croissance d'une liste, et la liste vide
• Vrai ou faux, avec justification Exercice supplémentaire
• Une négation, une contraposée Exercice supplémentaire

Types de raisonnement

• ${\log }_{10}2$ est irrationnel
• Un irrationnel élevé à un irrationnel

Récurrence, sommes et produits

• Somme des cubes
• Divisibilité par récurrence
• L'inégalité de Bernoulli
• À partir de quel rang ? $2^n$ contre $n^2$ Exercice d'entraînement
• Une somme qui se replie Exercice d'entraînement
• Une inégalité entre une somme et une racine Exercice d'entraînement
• Un produit qui se replie Exercice d'entraînement

Ensembles et parties

• Inclusion, réunion, intersection
• Distribuer, puis passer au complémentaire
• Le cardinal de $\mathcal{P}(E)$
• Opérations sur des parties concrètes Exercice supplémentaire
• Lister les parties d'un ensemble à trois éléments Exercice supplémentaire

Applications

• Injectivité d'une composée
• Surjectivité d'une composée
• Une application affine Exercice supplémentaire
• Le carré : ni l'un, ni l'autre Exercice supplémentaire

Logique et types de raisonnement

• Un énoncé qu'aucune fonction ne vérifie Exercice d'entraînement
• Divisible par 6, de deux façons Exercice d'entraînement
• Aucun rationnel positif n'est le plus petit Exercice d'entraînement

Ensembles, parties et produit cartésien

• La différence symétrique Exercice d'entraînement
• Les parties d'une intersection, d'une réunion Exercice d'entraînement
• Le produit cartésien distribue-t-il ? Exercice d'entraînement

Applications et bijections

• Intersecter avec une partie fixée Exercice d'entraînement
• Une bijection de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{Z}$ Exercice d'entraînement

Récurrence et sommes

• Une récurrence pour commencer Exercice supplémentaire
• La somme des impairs Exercice supplémentaire

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