Raisonnement et vocabulaire ensembliste

Cours · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 1 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Deux ensembles A et B et leur intersection.

Ce chapitre ne contient presque aucun résultat nouveau : il fixe la langue dans laquelle tout le reste sera écrit. Un énoncé mathématique n'est pas un texte ordinaire — « il existe un réel qui » et « pour tout réel » disent des choses opposées, et confondre une implication avec sa réciproque suffit à démontrer n'importe quoi. Le programme est explicite : tout exposé théorique est exclu. On apprend ces notions en s'en servant, et on y reviendra tout au long de l'année, à mesure que les chapitres en fourniront des exemples.

1.1 Éléments de logique

1.1.1 Propositions et connecteurs

Définition 1.1Proposition

Une proposition est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer une valeur de vérité : vrai ou faux, et une seule.

« $2 + 2 = 4$ » est une proposition vraie, « $2$ est rationnel » une proposition fausse. « $x > 3$ » n'en est pas une tant que $x$ n'est pas fixé : sa vérité dépend de $x$ .

Définition 1.2Connecteurs « et », « ou »

Soient $P$ et $Q$ deux propositions.

« $P$ et $Q$ » est vraie lorsque $P$ et $Q$ sont toutes deux vraies.
« $P$ ou $Q$ » est vraie lorsque l'une au moins des deux est vraie.

AttentionLe « ou » n'est pas exclusif

En mathématiques, « $P$ ou $Q$ » reste vraie quand $P$ et $Q$ le sont toutes deux. « Ce menu comprend un dessert ou un café » se comprend, dans la vie courante, comme un choix ; en mathématiques, il n'en est rien. Ainsi $x^{2} = x$ équivaut à « $x = 0$ ou $x = 1$ », et ce « ou » n'interdit rien : il se trouve simplement qu'aucun réel ne vérifie les deux à la fois.

1.1.2 Quantificateurs

Définition 1.3Quantificateurs

Soit $P (x)$ une proposition dépendant d'un élément $x$ d'un ensemble $E$ .

$\forall x \in E, P (x)$ se lit « pour tout $x$ de $E$ , $P (x)$ » : quantificateur universel.
$\exists x \in E, P (x)$ se lit « il existe $x$ dans $E$ tel que $P (x)$ » : quantificateur existentiel.

ImportantLes quantificateurs ne sont pas des abréviations

$\forall$ et $\exists$ servent à écrire un énoncé avec précision, jamais à gagner de la place. On n'écrit pas « $\exists$ solution » au milieu d'une phrase française : on écrit « il existe une solution ». Le symbole n'apparaît que dans un énoncé formel, où l'ordre des quantificateurs porte du sens.

AttentionL'ordre des quantificateurs change tout

Comparons deux énoncés sur les réels :

$\forall x \in R, \exists y \in R, y > x et \exists y \in R, \forall x \in R, y > x .$

Le premier est vrai : à chaque $x$ on associe $y = x + 1$ , qui dépend de $x$ . Le second affirme qu'un même $y$ dépasse tous les réels à la fois : il est faux. Les mêmes symboles, échangés, disent le contraire.

iRemarqueLes quantifications implicites

« La fonction carré est positive » signifie en réalité « $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$ ». Beaucoup d'énoncés portent ainsi un « pour tout » que l'on ne prononce pas. Savoir le rétablir est indispensable, en particulier pour nier l'énoncé.

1.1.3 Implication, réciproque, contraposée

Définition 1.4Proposition conditionnelle

La proposition « $P \Rightarrow Q$ » (si $P$ alors $Q$ ) est fausse uniquement lorsque $P$ est vraie et $Q$ fausse. On lui associe :

sa réciproque : $Q \Rightarrow P$ ;
sa contraposée : $non Q \Rightarrow non P$ ;
sa négation : $P$ et $non Q$ .

Lorsque $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ sont toutes deux vraies, on écrit $P \Leftrightarrow Q$ : $P$ et $Q$ sont équivalentes.

Proposition 1.5Une implication et sa contraposée disent la même chose

Les propositions $P \Rightarrow Q$ et $non Q \Rightarrow non P$ ont toujours la même valeur de vérité.

Démonstration

$P \Rightarrow Q$ n'est fausse que dans le cas « $P$ vraie et $Q$ fausse ». Or c'est exactement le seul cas où « non $Q$ » est vraie et « non $P$ » fausse, c'est-à-dire le seul cas où la contraposée est fausse. Les deux propositions sont donc fausses en même temps, donc vraies en même temps.

On visualise commodément « $P \Rightarrow Q$ » par une inclusion : l'ensemble des cas où $P$ est vraie est contenu dans celui où $Q$ l'est. La contraposée se lit alors sur le même dessin, vu de l'extérieur.

AttentionRéciproque

\neq =

contraposée

Une implication vraie a toujours une contraposée vraie, mais sa réciproque peut être fausse. « Si $x = 2$ alors $x^{2} = 4$ » est vraie ; sa contraposée « si $x^{2} \neq = 4$ alors $x \neq = 2$ » est vraie ; sa réciproque « si $x^{2} = 4$ alors $x = 2$ » est fausse, comme le montre $x = - 2$ .

Définition 1.6Condition nécessaire, condition suffisante

Si $P \Rightarrow Q$ , on dit que $P$ est une condition suffisante de $Q$ , et que $Q$ est une condition nécessaire de $P$ .

Exemple 1.7Lire une implication dans les deux sens

« Si une fonction est dérivable en $a$ , alors elle est continue en $a$ . » La dérivabilité est donc suffisante pour la continuité ; la continuité est nécessaire à la dérivabilité. Autrement dit : pour espérer dériver, il faut d'abord être continu — mais l'être ne suffit pas.

Exercices du chapitre

Quantifier, puis nier corrigé
L'ordre des quantificateurs corrigé
Réciproque et contraposée corrigé
Nécessaire, suffisante, ou les deux corrigé
Croissance d'une liste, et la liste vide corrigé
$lo g_{10} 2$ est irrationnel corrigé

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