Calcul matriciel et systèmes linéaires

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 · prépa ECG, 1re année

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Ce chapitre poursuit deux buts que le programme énonce ensemble : maîtriser la résolution des systèmes linéaires, et disposer du calcul matriciel comme langage pour les écrire. Le second n'est pas une abstraction gratuite — c'est lui qui permettra, au second semestre, de faire évoluer une population entre plusieurs états, et de calculer des probabilités par simple produit de tableaux. Tout développement théorique est hors programme : on calcule, on interprète, on ne construit pas de théorie.

2.1 Systèmes linéaires

Définition 2.1Système linéaire

Un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues est un système de la forme

$⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} ⋮ a_{n 1} x_{1} + + \dots \dots + + a_{1 p} x_{p} ⋮ a_{n p} x_{p} = = b_{1} ⋮ b_{n}$

où les $a_{ij}$ et les $b_{i}$ sont des réels donnés. Il est dit homogène lorsque tous les $b_{i}$ sont nuls, et de Cramer lorsqu'il a autant d'équations que d'inconnues et admet une unique solution.

Définition 2.2Opérations élémentaires

Résoudre un système, c'est le remplacer par un système équivalent plus simple, au moyen des trois opérations suivantes sur les lignes :

$L_{i} \leftrightarrow L_{j}, L_{i} \leftarrow λ L_{i} (λ \neq = 0), L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j} (i \neq = j) .$

Chacune est réversible : le système obtenu a exactement les mêmes solutions.

ImportantLa méthode du pivot de Gauss

On choisit une équation où l'inconnue $x_{1}$ figure — son coefficient est le pivot — et on s'en sert pour éliminer $x_{1}$ de toutes les autres. On recommence avec $x_{2}$ sur les équations restantes, et ainsi de suite. Le système devient échelonné, et se résout de bas en haut.

Exemple 2.3Trois systèmes, trois destins

$(S_{1}) {x + y = 3 x - y = 1 (S_{2}) {x + y = 3 2 x + 2 y = 7 (S_{3}) {x + y = 3 2 x + 2 y = 6$

Pour $(S_{1})$ , $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ donne $- 2 y = - 2$ , donc $y = 1$ puis $x = 2$ : une solution. Pour $(S_{2})$ , $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ donne $0 = 1$ : aucune solution. Pour $(S_{3})$ , la même opération donne $0 = 0$ : la seconde équation n'apprenait rien, et l'ensemble des solutions est ${(3 - y, y) ∣ y \in R}$ , une infinité.

Ces trois destins ne sont pas des accidents de calcul : ils se lisent géométriquement. Chaque équation à deux inconnues est une droite du plan, et résoudre le système, c'est chercher les points communs à ces droites.

ImportantIl n'y a que trois cas

Un système linéaire réel a zéro, une ou une infinité de solutions — jamais deux, jamais dix-sept. La méthode du pivot le fait apparaître : une ligne « $0 = c$ » avec $c \neq = 0$ tue le système ; une ligne « $0 = 0$ » libère une inconnue.

Proposition 2.4Structure de l'ensemble des solutions d'un système homogène

Soit $(H)$ un système linéaire homogène à $p$ inconnues, et $S$ l'ensemble de ses solutions, vu comme partie de $R^{p}$ . Alors :

$(0, \dots, 0) \in S$ : un système homogène a toujours au moins la solution nulle ;
si $X$ et $X^{'}$ appartiennent à $S$ , alors $X + X^{'}$ aussi ;
si $X \in S$ et $λ \in R$ , alors $λ X \in S$ .

Démonstration

Chaque équation s'écrit $a_{i 1} x_{1} + \dots + a_{i p} x_{p} = 0$ . Le membre de gauche vaut $0$ pour $X = 0$ . S'il vaut $0$ pour $X$ et pour $X^{'}$ , il vaut $0 + 0$ pour $X + X^{'}$ et $λ \times 0$ pour $λ X$ : les trois propriétés viennent de ce que chaque équation est linéaire en les inconnues.

iRemarqueRetenez cette proposition

Ces trois propriétés — contenir $0$ , être stable par somme et par multiplication par un réel — sont exactement la définition d'un sous-espace vectoriel de $R^{p}$ , que l'on rencontrera au second semestre. L'ensemble des solutions d'un système homogène en sera le premier exemple, et de loin le plus utile.

2.2 Matrices

2.2.1 Définitions

Définition 2.5Matrice

Une matrice réelle à $n$ lignes et $p$ colonnes est un tableau $A = (a_{ij})$ de réels, $1 \leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq p$ . L'ensemble de ces matrices est noté $M_{n, p} (R)$ , et $M_{n} (R)$ lorsque $n = p$ — on parle alors de matrices carrées. Une matrice à une seule colonne est une matrice colonne, à une seule ligne une matrice ligne.

AttentionLigne d'abord, colonne ensuite

$a_{ij}$ désigne le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ : dans $M_{3, 2} (R)$ , l'indice $i$ va jusqu'à $3$ et $j$ jusqu'à $2$ . L'ordre est une convention, mais s'en écarter rend tout faux.

Définition 2.6Matrices remarquables

Soit $A = (a_{ij}) \in M_{n} (R)$ .

$A$ est diagonale si $a_{ij} = 0$ dès que $i \neq = j$ ;
$A$ est triangulaire supérieure si $a_{ij} = 0$ dès que $i > j$ , inférieure si $a_{ij} = 0$ dès que $i < j$ ;
la matrice identité $I_{n}$ est la matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux valent $1$ .

Définition 2.7Transposée, matrice symétrique

La transposée de $A = (a_{ij}) \in M_{n, p} (R)$ est la matrice $^{t} A \in M_{p, n} (R)$ de coefficients $(^{t} A)_{ij} = a_{j i}$ : on échange lignes et colonnes. Une matrice carrée $A$ est symétrique lorsque $^{t} A = A$ .

Exemple 2.8Transposer

$A = (142536) \in M_{2, 3} (R),^{t} A = 123456 \in M_{3, 2} (R) .$

La matrice $(1772)$ est symétrique ; $(1072)$ ne l'est pas.

2.2.2 Opérations

Définition 2.9Somme et produit par un réel

Pour $A, B \in M_{n, p} (R)$ et $λ \in R$ , $A + B$ et $λ A$ sont les matrices de $M_{n, p} (R)$ obtenues coefficient par coefficient : $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ et $(λ A)_{ij} = λ a_{ij}$ .

Définition 2.10Produit matriciel

Si $A \in M_{n, p} (R)$ et $B \in M_{p, q} (R)$ , le produit $A B$ appartient à $M_{n, q} (R)$ et

$(A B)_{ij} = k = 1 \sum p a_{ik} b_{k j} .$

Le coefficient de position $(i, j)$ se lit sur la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$ .

ImportantLes formats doivent s'emboîter

$A B$ n'a de sens que si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ . Retenez le schéma des formats : $(n, p) \times (p, q) \to (n, q)$ — l'indice intérieur disparaît.

iRemarqueLire le produit colonne par colonne

La $j$ -ème colonne de $A B$ est le produit de $A$ par la $j$ -ème colonne de $B$ . C'est la lecture la plus utile : elle transforme un produit de tableaux en une famille de systèmes, et c'est elle qui donnera un sens géométrique au produit au second semestre.

Proposition 2.11Propriétés des opérations

Sous réserve que les formats permettent les produits :

$A (B C) = (A B) C, λ (A B) = (λ A) B = A (λ B), A (B + C) = A B + A C, (A + B) C = A C + B C,$

et $A I_{p} = A = I_{n} A$ pour $A \in M_{n, p} (R)$ .

AttentionLe produit n'est pas commutatif

En général $A B \neq = B A$ — les deux produits peuvent même ne pas avoir le même format, voire n'être définis que dans un sens. Ainsi

$(0010) (0100) = (1000), (0100) (0010) = (0001) .$

Le même exemple montre qu'un produit de matrices non nulles peut être nul : $(0010)^{2} = 0$ sans que la matrice le soit.

Proposition 2.12Transposée d'une somme, d'un produit

$^{t} (A + B) =^{t} A +^{t} B$ , et pour des matrices carrées de même ordre,

$^{t} (A B) =^{t} B^{t} A .$

Démonstration

Pour la somme, les coefficients se lisent immédiatement. Pour le produit,

$(^{t} (A B))_{ij} = (A B)_{j i} = k \sum a_{j k} b_{k i} = k \sum (^{t} B)_{ik} (^{t} A)_{k j} = (^{t} B^{t} A)_{ij} .$

L'ordre s'inverse — comme pour la réciproque d'une composée.

2.2.3 Puissances

Définition 2.13Puissances d'une matrice carrée

Pour $A \in M_{n} (R)$ , on pose $A^{0} = I_{n}$ et $A^{k + 1} = A^{k} A$ .

AttentionPas de binôme au premier semestre

La formule $(A + B)^{n} = \sum (k n) A^{k} B^{n - k}$ suppose que $A$ et $B$ commutent, et n'est pas au programme de ce semestre. Pour calculer $A^{n}$ , on cherche plutôt une régularité sur les premières puissances, que l'on démontre ensuite par récurrence.

Exemple 2.14Calculer

A^{n}

par récurrence

Soit $A = (1011)$ . On calcule $A^{2} = (1021)$ et $A^{3} = (1031)$ , ce qui suggère $A^{n} = (10 n 1)$ . Cette formule vaut pour $n = 0$ , et si elle vaut au rang $n$ alors

$A^{n + 1} = A^{n} A = (10 n 1) (1011) = (10 n + 1 1) .$

Elle est donc vraie pour tout $n \in N$ .

Exemple 2.15Une suite récurrente linéaire, matriciellement

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 0$ , $u_{1} = 1$ et $u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_{n}$ . En posant $X_{n} = (u_{n + 1} u_{n})$ et $A = (1110)$ , on a $X_{n + 1} = A X_{n}$ , donc $X_{n} = A^{n} X_{0}$ : le calcul de $u_{n}$ se ramène à celui d'une puissance de matrice. C'est le procédé qui servira à étudier des populations réparties entre plusieurs états.

2.2.4 Matrices inversibles

Définition 2.16Matrice inversible

Une matrice $A \in M_{n} (R)$ est inversible s'il existe $B \in M_{n} (R)$ telle que $A B = B A = I_{n}$ . Cette matrice $B$ est alors unique, appelée inverse de $A$ et notée $A^{- 1}$ .

ImportantUn seul côté suffit

Pour une matrice carrée, on admet que $A B = I_{n}$ entraîne $B A = I_{n}$ : un inverse à gauche ou à droite est l'inverse. Cela dispense de vérifier les deux produits.

Proposition 2.17Inverse d'un produit

Si $A$ et $B$ de $M_{n} (R)$ sont inversibles, alors $A B$ l'est et

$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1} .$

Démonstration

$(A B) (B^{- 1} A^{- 1}) = A (B B^{- 1}) A^{- 1} = A I_{n} A^{- 1} = A A^{- 1} = I_{n}$ . D'après la remarque précédente, cela suffit. L'ordre s'inverse, ici encore.

Proposition 2.18Inversibilité d'une matrice triangulaire

Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.

Exemple 2.19L'inverse par un polynôme annulateur

Soit $A$ telle que $A^{2} - 3 A + 2 I_{n} = 0$ . Alors $A (A - 3 I_{n}) = - 2 I_{n}$ , donc

$A \times (- \frac{1}{2} (A - 3 I_{n})) = I_{n} :$

$A$ est inversible, d'inverse $\frac{1}{2} (3 I_{n} - A)$ . Une relation polynomiale vérifiée par $A$ livre son inverse sans aucun calcul de système.

2.3 Écriture matricielle d'un système

Proposition 2.20Le système

A X = Y

Le système linéaire de matrice $A = (a_{ij}) \in M_{n, p} (R)$ , d'inconnue $X =^{t} (x_{1}, \dots, x_{p})$ et de second membre $Y =^{t} (b_{1}, \dots, b_{n})$ , s'écrit

$A X = Y .$

Si $n = p$ et si $A$ est inversible, ce système admet une unique solution : $X = A^{- 1} Y$ .

Démonstration

Le $i$ -ème coefficient de $A X$ vaut $\sum_{j} a_{ij} x_{j}$ : c'est exactement le membre de gauche de la $i$ -ème équation. Si $A$ est inversible, en multipliant $A X = Y$ à gauche par $A^{- 1}$ on obtient $X = A^{- 1} Y$ ; réciproquement cette colonne est bien solution, puisque $A (A^{- 1} Y) = Y$ .

ImportantChercher l'inverse en résolvant un système

Pour inverser $A$ , on résout $A X = Y$ en exprimant $X$ en fonction de $Y$ par la méthode du pivot. Si l'on aboutit à $X = B Y$ , alors $B = A^{- 1}$ . Si le pivot fait apparaître une ligne « $0 =$ combinaison des $b_{i}$ », c'est que $A$ n'est pas inversible.

Définition 2.21Déterminant d'une matrice d'ordre 2

Pour $A = (a c b d)$ , on pose $det (A) = a d - b c$ .

Le déterminant d'une matrice $2 \times 2$ n'est pas une formule tombée du ciel : c'est, au signe près, l'aire du parallélogramme construit sur les deux colonnes. Il s'annule exactement quand ce parallélogramme s'aplatit — c'est-à-dire quand les deux colonnes sont alignées, et que la matrice écrase le plan sur une droite.

◆Théorème 2.22Inversibilité en ordre 2

$A \in M_{2} (R)$ est inversible si et seulement si $det (A) \neq = 0$ , et dans ce cas

$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a) .$

Démonstration

Posons $B = (d - c - b a)$ . Un calcul direct donne $A B = B A = (a d - b c) I_{2}$ . Si $a d - b c \neq = 0$ , diviser par ce nombre fournit l'inverse annoncé. Réciproquement, si $a d - b c = 0$ , alors $A B = 0$ ; si $A$ était inversible, on aurait $B = A^{- 1} (A B) = 0$ , donc $a = b = c = d = 0$ , donc $A = 0$ , qui n'est pas inversible — contradiction.

Python : Résoudre un système, et se méfier du résultat

La bibliothèque numpy résout un système en une ligne.


import numpy as np

A = np.array([[1., 1.], [1., -1.]])
Y = np.array([3., 1.])
X = np.linalg.solve(A, Y)
print(X)                      # [2. 1.]
print(np.linalg.det(A))     # -2.0 : non nul, le systeme est de Cramer

Sur une matrice de déterminant nul, solve lève une erreur ; sur une matrice de déterminant très petit, il renvoie un résultat sans prévenir qu'il est peu fiable. Le déterminant se regarde avant de faire confiance à la réponse.

2.4 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

Systèmes : pivot de Gauss ; zéro, une ou une infinité de solutions, jamais autre chose. Une ligne « $0 = c$ » ( $c \neq = 0$ ) tue le système, une ligne « $0 = 0$ » libère une inconnue.
Système homogène : l'ensemble des solutions contient $0$ et est stable par somme et par produit par un réel — ce sera un sous-espace vectoriel.
Produit : $(n, p) \times (p, q) \to (n, q)$ ; non commutatif ; un produit de matrices non nulles peut être nul.
Transposée : $^{t} (A B) =^{t} B^{t} A$ — l'ordre s'inverse, comme pour $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ .
Puissances : conjecturer sur $A^{2}$ , $A^{3}$ , puis démontrer par récurrence. Le binôme n'est pas au programme de ce semestre.
Inversible : $A B = I_{n}$ suffit (matrices carrées) ; une triangulaire est inversible ssi sa diagonale ne contient pas de zéro ; un polynôme annulateur donne l'inverse.
Ordre 2 : inversible $⟺ a d - b c \neq = 0$ , et $A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ .

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