Calcul matriciel et systèmes linéaires

Cours · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une matrice échelonnée par le pivot de Gauss : pivots sur la diagonale, zéros en dessous.

Ce chapitre poursuit deux buts que le programme énonce ensemble : maîtriser la résolution des systèmes linéaires, et disposer du calcul matriciel comme langage pour les écrire. Le second n'est pas une abstraction gratuite — c'est lui qui permettra, au second semestre, de faire évoluer une population entre plusieurs états, et de calculer des probabilités par simple produit de tableaux. Tout développement théorique est hors programme : on calcule, on interprète, on ne construit pas de théorie.

2.1 Systèmes linéaires

Définition 2.1Système linéaire

Un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues est un système de la forme

$⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} ⋮ a_{n 1} x_{1} + + \dots \dots + + a_{1 p} x_{p} ⋮ a_{n p} x_{p} = = b_{1} ⋮ b_{n}$

où les $a_{ij}$ et les $b_{i}$ sont des réels donnés. Il est dit homogène lorsque tous les $b_{i}$ sont nuls, et de Cramer lorsqu'il a autant d'équations que d'inconnues et admet une unique solution.

Définition 2.2Opérations élémentaires

Résoudre un système, c'est le remplacer par un système équivalent plus simple, au moyen des trois opérations suivantes sur les lignes :

$L_{i} \leftrightarrow L_{j}, L_{i} \leftarrow λ L_{i} (λ \neq = 0), L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j} (i \neq = j) .$

Chacune est réversible : le système obtenu a exactement les mêmes solutions.

ImportantLa méthode du pivot de Gauss

On choisit une équation où l'inconnue $x_{1}$ figure — son coefficient est le pivot — et on s'en sert pour éliminer $x_{1}$ de toutes les autres. On recommence avec $x_{2}$ sur les équations restantes, et ainsi de suite. Le système devient échelonné, et se résout de bas en haut.

Exemple 2.3Trois systèmes, trois destins

$(S_{1}) {x + y = 3 x - y = 1 (S_{2}) {x + y = 3 2 x + 2 y = 7 (S_{3}) {x + y = 3 2 x + 2 y = 6$

Pour $(S_{1})$ , $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ donne $- 2 y = - 2$ , donc $y = 1$ puis $x = 2$ : une solution. Pour $(S_{2})$ , $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ donne $0 = 1$ : aucune solution. Pour $(S_{3})$ , la même opération donne $0 = 0$ : la seconde équation n'apprenait rien, et l'ensemble des solutions est ${(3 - y, y) ∣ y \in R}$ , une infinité.

Ces trois destins ne sont pas des accidents de calcul : ils se lisent géométriquement. Chaque équation à deux inconnues est une droite du plan, et résoudre le système, c'est chercher les points communs à ces droites.

ImportantIl n'y a que trois cas

Un système linéaire réel a zéro, une ou une infinité de solutions — jamais deux, jamais dix-sept. La méthode du pivot le fait apparaître : une ligne « $0 = c$ » avec $c \neq = 0$ tue le système ; une ligne « $0 = 0$ » libère une inconnue.

Proposition 2.4Structure de l'ensemble des solutions d'un système homogène

Soit $(H)$ un système linéaire homogène à $p$ inconnues, et $S$ l'ensemble de ses solutions, vu comme partie de $R^{p}$ . Alors :

$(0, \dots, 0) \in S$ : un système homogène a toujours au moins la solution nulle ;
si $X$ et $X^{'}$ appartiennent à $S$ , alors $X + X^{'}$ aussi ;
si $X \in S$ et $λ \in R$ , alors $λ X \in S$ .

Démonstration

Chaque équation s'écrit $a_{i 1} x_{1} + \dots + a_{i p} x_{p} = 0$ . Le membre de gauche vaut $0$ pour $X = 0$ . S'il vaut $0$ pour $X$ et pour $X^{'}$ , il vaut $0 + 0$ pour $X + X^{'}$ et $λ \times 0$ pour $λ X$ : les trois propriétés viennent de ce que chaque équation est linéaire en les inconnues.

iRemarqueRetenez cette proposition

Ces trois propriétés — contenir $0$ , être stable par somme et par multiplication par un réel — sont exactement la définition d'un sous-espace vectoriel de $R^{p}$ , que l'on rencontrera au second semestre. L'ensemble des solutions d'un système homogène en sera le premier exemple, et de loin le plus utile.

2.2 Matrices

2.2.1 Définitions

Définition 2.5Matrice

Une matrice réelle à $n$ lignes et $p$ colonnes est un tableau $A = (a_{ij})$ de réels, $1 \leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq p$ . L'ensemble de ces matrices est noté $M_{n, p} (R)$ , et $M_{n} (R)$ lorsque $n = p$ — on parle alors de matrices carrées. Une matrice à une seule colonne est une matrice colonne, à une seule ligne une matrice ligne.

AttentionLigne d'abord, colonne ensuite

$a_{ij}$ désigne le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ : dans $M_{3, 2} (R)$ , l'indice $i$ va jusqu'à $3$ et $j$ jusqu'à $2$ . L'ordre est une convention, mais s'en écarter rend tout faux.

Exercices du chapitre

Un système qui n'a pas une seule solution corrigé
Discuter selon un paramètre corrigé
Un système homogène et ses solutions corrigé
L'inverse par le pivot corrigé
Le produit n'est pas commutatif corrigé
L'inverse d'une symétrique corrigé

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