Bonus-malus

Bonus-malus

Chaînes de Markov · Modéliser par un graphe · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un assureur classe ses clients en trois catégories : bonus (état $1$ ), normal ( $2$ ), malus ( $3$ ). Chaque année, un client sans sinistre descend d'un cran (vers le bonus), un client avec sinistre monte d'un cran. La probabilité d'un sinistre est $0, 2$ . Écrire $M$ et déterminer l'état stable.

Corrigé

Matrice. Depuis le bonus, on y reste sans sinistre ( $0, 8$ ) ou on passe en normal ( $0, 2$ ). Depuis normal : bonus avec $0, 8$ , malus avec $0, 2$ . Depuis malus : normal avec $0, 8$ , on y reste avec $0, 2$ .

$M = 0, 8 0, 8 0 0, 2 0 0, 8 0 0, 2 0, 2 .$

Chaque ligne somme bien à $1$ .

État stable. $V M = V$ avec $V = (a; b; c)$ :

$⎩ ⎨ ⎧ 0, 8 a + 0, 8 b = a 0, 2 a + 0, 8 c = b 0, 2 b + 0, 2 c = c$

La première donne $0, 8 b = 0, 2 a$ , soit $a = 4 b$ . La troisième donne $0, 2 b = 0, 8 c$ , soit $b = 4 c$ . Donc $a = 16 c$ et $b = 4 c$ .

Normalisation : $16 c + 4 c + c = 1$ , donc $c = \frac{1}{21}$ et

$V = (\frac{16}{21}; \frac{4}{21}; \frac{1}{21}) \approx (0, 762; 0, 190; 0, 048) .$

Vérification de la deuxième équation, qu'on n'a pas utilisée : $0, 2 \times \frac{16}{21} + 0, 8 \times \frac{1}{21} = \frac{3 , 2 + 0 , 8}{21} = \frac{4}{21} = b$ . Cohérent.

Lecture. À long terme, plus de trois quarts des assurés sont au bonus.

Énoncé

Corrigé

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