Ce que devient la puissance

L'idée. La ligne $i$ de $M^n$ est l'état $V_n$ obtenu en partant certainement de l'état $i$, car $V_n=V_0{M}^n$ et $V_0=(1;0)$ sélectionne la première ligne, $(0;1)$ la seconde. Il suffit donc de faire converger deux suites.

La récurrence sur la première composante. Écrivons $V_n=(p_n;1-p_n)$. La première composante de $V_{n+1}=V_{n}M$ vaut

$$p_{n+1}=0,7p_n+0,2(1-p_n)=0,5p_n+0,2.$$

Point fixe et forme explicite. $\ell =0,5\ell +0,2$ donne $\ell =0,4$. Avec $u_n=p_n-0,4$, on a $u_{n+1}=0,5u_n$, donc

$$p_n=0,4+(p_0-0,4)\times 0,5^n\underset{n\to +\infty }{\to }0,4,$$

puisque $|0,5|<1$. La limite ne dépend pas de $p_0$.

Conclusion. Partant de l'état $1$ ($p_0=1$) comme de l'état $2$ ($p_0=0$), on tend vers $(0,4;0,6)$. Les deux lignes de $M^n$ convergent donc vers ce même vecteur :

$$M^n\underset{n\to +\infty }{\to }\left(\begin{array}{cc}0,4& 0,6\\ 0,4& 0,6\end{array}\right).$$

Contrôle. Pour $n=2$ la formule prédit $0,4+0,6\times 0,25=0,55$ et $0,4-0,4\times 0,25=0,30$, ce que donne le produit direct.

Le point à retenir. Une matrice limite à lignes toutes égales dit que la chaîne oublie son point de départ. La vitesse de cet oubli est le facteur $0,5$, qui divise l'écart par deux à chaque pas.