Combien de passages en trois pas ?

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 10 — Chaînes de Markov · Chaînes de Markov et variables aléatoires

Énoncé

Une chaîne à deux états a pour matrice $M = (0, 6 0, 3 0, 4 0, 7)$ et part de l'état $1$ , soit $V_{0} = (1; 0)$ . Soit $N$ le nombre d'instants parmi $1, 2, 3$ où la chaîne se trouve dans l'état $1$ . Calculer $E (N)$ .

Corrigé

Ce qu'on emploie. La décomposition de $N$ en somme d'indicatrices et la linéarité de l'espérance, qui ne demande aucune indépendance — c'est essentiel ici, puisque les positions successives de la chaîne sont tout sauf indépendantes.

La décomposition. Pour $n \in {1, 2, 3}$ , soit $I_{n}$ la variable valant $1$ si $X_{n} = 1$ et $0$ sinon. Alors $N = I_{1} + I_{2} + I_{3}, et E (I_{n}) = P ([X_{n} = 1]) .$

Les trois états successifs. $V_{1} = V_{0} M = (0, 6; 0, 4),$ $V_{2} = V_{1} M = (0, 6 \times 0, 6 + 0, 4 \times 0, 3; 0, 6 \times 0, 4 + 0, 4 \times 0, 7) = (0, 48; 0, 52),$ $V_{3} = V_{2} M = (0, 48 \times 0, 6 + 0, 52 \times 0, 3; 0, 48 \times 0, 4 + 0, 52 \times 0, 7) = (0, 444; 0, 556) .$ Chaque vecteur somme bien à $1$ .

L'espérance. Par linéarité, $E (N) = P ([X_{1} = 1]) + P ([X_{2} = 1]) + P ([X_{3} = 1]) = 0, 6 + 0, 48 + 0, 444 = 1, 524.$

Lecture. Sur trois instants, la chaîne passe en moyenne un peu plus d'une fois et demie dans l'état $1$ . L'état stable vaut ici $(\frac{3}{7}; \frac{4}{7})$ — la première composante étant $\frac{0 , 3}{0 , 4 + 0 , 3}$ —, soit environ $0, 4286$ ; les probabilités calculées s'en approchent déjà.

Le point délicat. On serait tenté de chercher la loi de $N$ , qui exigerait d'énumérer les huit trajectoires. La décomposition en indicatrices évite tout ce travail : elle donne l'espérance sans la loi.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.