Compléter une matrice de transition

Ce qu'on emploie. La seule contrainte disponible : chaque ligne d'une matrice de transition somme à $1$. Les lignes se traitent indépendamment l'une de l'autre.

Le calcul. Sur la première ligne : $$0,35+\alpha =1⟹\alpha =0,65.$$ Sur la seconde ligne : $$\beta +0,55=1⟹\beta =0,45.$$ D'où $$M=\left(\begin{array}{cc}0,35& 0,65\\ 0,45& 0,55\end{array}\right).$$ Les quatre coefficients sont bien positifs : c'est une matrice de transition.

La comparaison. Changer d'état, c'est quitter la diagonale. Depuis l'état $1$, cela arrive avec la probabilité $\alpha =0,65$ ; depuis l'état $2$, avec la probabilité $\beta =0,45$. Comme $0,65>0,45$, c'est depuis l'état $1$ qu'on change le plus facilement d'état : l'état $2$ retient davantage.

Remarque. Rien n'oblige les colonnes à sommer à $1$ : ici la première colonne somme à $0,80$ et la seconde à $1,20$. C'est parfaitement normal — la contrainte ne porte que sur les lignes.